Основные правила дифференцирования

Сравнение бесконечно малых функций.

 В предыдущем разделе введены определения, описывающие поведение при х®а произвольных функций. Здесь мы уточним эти определения для случая бесконечно малых функций. Поведение БМ функций сравнивается, если существует конечный или бесконечный предел их отношения. Итак, пусть a(х)®0, b(х)®0 при х®а и пусть $.

Опр. 4.4.9.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то БМ функции a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одного порядка.

Опр. 4.4.9.2. Если =0, то БМ a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с b(х) (b(х) называется бесконечно малой низшего порядка по сравнению с a(х)). Обозначение: a(х) = о(a(х)).

Опр. 4.4.9.3. Если =1, то БМ a(х) и b(х) называются эквивалентными. Обозначение: a(х)~b(х); если a(х)~b(х), то b(х)~a(х).

Эквивалентные БМ интенсивно используются и в теории, и при решении задач, поэтому докажем два утверждения об этих величинах.

Теор. 4.4.9.1. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности БМ). Для того, чтобы БМ функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была БМ функцией высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Док-во. Необходимость. a(х)~b(х)Û=1Û0Û . Достаточность. ÛÛ =1.

Теор. 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные.

Пусть a(х)~ a1(х), b(х)~b1(х) - БМ функции. Тогда .

 Док-во.

.

Опр. 4.4.9.4. Если  при некотором k>0, то БМ a(х) называется БМ

k-го порядка малости по сравнению с b(х).

Если a(х) - БМ к-го порядка по сравнению с b(х), то a(х)~C[b(х)]kÞa(х)=C[b(х)]k+o(a(x)), т.е. функция C[b(х)]k - главная часть функции a(х). В этом случае также a(х)=C[b(х)]k+o([b(х)]k).

 При решении задач часто применяется следующее очевидное

 Утверждение. Сумма конечного числа БМ функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Сравнение рядов с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
Предел функции одной переменной