Основные правила дифференцирования

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

 Здесь мы с помощью рассмотренных в 4.4.7 пределов составим таблицу эквивалентных БМ функций и выпишем следующие из них выражения для главных частей (они подчёркнуты).

Эквивалентность при х®0

Главная часть при х®0

1. sin x ~ x

1. sin x = x+o(x)

2. 1 - cos x ~ x2/2

2. 1 - cos x = x2/2+o(x2)Þcos x = 1- x2/2+o(x2)

3. tg x ~ x

3. tg x = x+o(x)

4. arcsin x ~ x

4. arcsin x = x+o(x)

5. arctg x ~ x

5. arctg x = x+o(x)

6. ax-1 ~ x ln a; ex-1 ~ x

6. ax–1 = x ln a+o(x)Þ ax = 1+ x ln a+o(x)

 ex –1 = x+o(x) )Þ ex = 1+ x +o(x)

7. loga (1+x) ~ x logae; ln(1+x) ~ x

7. loga (1+x) = x logae+o(x); ln(1+x) = x+o(x)

8. (1+x)a-1 ~ a x

8. (1+x)a - 1 = a x+o(x)Þ (1+x)a=1 + a x+o(x)

9. sh x ~ x

9. sh x = x+o(x)

10. ch x - 1 ~ x2/2

10. ch x - 1= x2/2+o(x2)Þ ch x = 1 + x2/2+o(x2)

4.4.11. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно больших функций и связь с бесконечно малыми функциями.

В разделе 4.4.3 мы определили функции ББ, положительные ББ, отрицательные ББ и ввели обозначения : , , . Напомним одно из них. Физическая задача вычисления работы силы при перемещении точки Р из положения М в положение N приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода. Для этого кривая MN разбивается на п произвольных частей точками М=M1,M2,M3,…Mn=N

Опр.4.4.8. f(x)®¥ при х®а (х®а+0, х®а-0, х®¥, х®+¥,  х®-¥) Û Û.

Теор. 4.4.11.1 о связи ББ и БМ функций. Пусть функции F(x) и j(x) связаны соотношением F(x)=. F(x) - ББ тогда и только тогда, когда j(x) -БМ.

 Док-во. Необходимость. Пусть F(x) - ББ, докажем, что   - БМ. Возьмём "e>0. По определению ББ, для М=1/e $d: 0<| x-a |<dÞ| F(x) |> М. Тогда , т.е. j(x) удовлетворяет определению БМ.

 Достаточность доказывается аналогично необходимости.

Итак, связь между ББ и БМ функциями достаточно простая. Поэтому кратко перечислим факты, относящиеся к сравнению ББ функций и аналогичные определениям и теоремам для БМ.

Опр. 4.4.11.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то ББ функции F(х) и G(х) называются бесконечно большими одного порядка роста при х®а.

Опр. 4.4.11.2. Если =0, то ББ G(х) называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с F(х) (F(х) называется бесконечно большой низшего порядка по сравнению с G(х)). Обозначение: F(x) = o(G(x)).

Опр. 4.4.11.3. Если =1, то ББ G(х) и F(х) называются эквивалентными.

Теор. 4.4.11.2. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности ББ). Для того, чтобы ББ функции F(х) и G(х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие F(х) - G(х) = о(F(х)) (или F(х) - G(х) = о(G(х)).

Сравнение рядов с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
Предел функции одной переменной