Основные правила дифференцирования

Мощность множества.

 Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов. Для бесконечных множеств такого простого правила сравнения количеств элементов в них нет; чтобы получить возможность описывать количество элементов в бесконечных множествах, введём следующие определения.

 Опр. 1.3.1. Между множествами А и В установлено взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу множества А каким-либо образом сопоставлен единственный элемент множества В, при этом каждому элементу множества В сопоставляется единственный элемент множества А.

 Опр. 1.3.2. Множества, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, называются равномощными (имеющими одинаковую мощность, эквивалентными). Равномощность множеств обозначается символом "~": А~В.

 Так, для приведённых выше множеств взаимно-однозначное соответствие устанавливается соотношениями -2«с, 0«ф, 3«а, 8«х. Однако ценность опр. 1.8 эквивалентности множеств заключается в том, что оно применимо к любым, в том числе бесконечным, множествам. Так, рассмотрим множество N натуральных чисел и множество N2={ 2, 4, 6, …} четных чисел. Взаимно-однозначное соответствие между этими множествами устанавливается соотношениями n«2n, следовательно, эти множества равномощны: N~N2. Этот пример показывает, что собственное подмножество может быть равномощным всему множеству; естественно, это может быть только для бесконечных множеств.

 Соотношение ~ эквивалентности множеств транзитивно: если А~В, В~С, то А~С. Взаимно-однозначное соответствие между элементами а множества А и с множества С устанавливается по цепочке а «в«с.

Опр. 1.3.4. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N называется счётным множеством. Функции двух переменных В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других: Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

 Другими словами, множество счётно, если его элементы можно перенумеровать всеми натуральными числами. Счётны множества N2 чётных натуральных чисел, множество нечётных чисел (соответствие n«2n-1), множество всех целых чисел {0,±1,±2,±3,±4,…} (соответствие 1«0, 2«-1, 3«1, 4«-2, 5«2, …; вообще n«(n-1)/2 для нечётных n и n«-n/2 для чётных n).

 Равномощны множества точек любых двух отрезков [a,b] и [c,d] (соответствие можно установить, например, с помощью центрального проектирования; рис. 7). Так же можно доказать равномощность множеств точек любых двух интервалов. Множество точек интервала равномощно множеству точек всей прямой (рис. 8). Сложнее ответить на вопрос, равномощны ли множества точек отрезка и интервала. Положительный ответ на этот вопрос даёт следующая теорема:

 Теор. 1.3.1. Если множество А равномощно подмножеству В1 множества В, а множество В равномощно подмножеству А1 множества А, то множества А и В равномощны.

Опр. 1.3.5. Множество, эквивалентное множеству точек любого отрезка, называется множеством мощности континуум.

 Рассмотрим более подробно свойства счётных множеств и множеств мощности континуум.

1.3.1. Счётные множества.

Любое бесконечное подмножество В счётного множества А также счётно.

Элементы В можно перенумеровать в порядке их следования в А; так как В бесконечно, для нумерации будут использованы все натуральные числа.

Объединение конечной или счётной совокупности счётных множеств - счётное множество.

Докажем это утверждение сначала для двух счётных множеств А={a1, a2, a3,…} и В={b1, b2, b3,…}. Выпишем все элементы этих множеств в одну строчку a1, b1, a2, b2, a3, b3,… и сопоставим каждому элементу его номер в этой строчке (если Ø, т.е. какой-то элемент входит и в А, и в В, он получает номер только в первый раз, а во второй раз пропускается). В результате будут пронумерованы все элементы множества , что доказывает его счётность. Также доказывается счётность объединения трёх, четырёх и вообще любого конечного числа счётных множеств. В случае счётного числа счётных множеств {A1, A2, A3, A4, …}способ нумерации может быть, например, таким:

A1={a11, a12, a13, a14,…}

A2={a21, a22, a23, a24,…}

A3={a31, a32, a33, a34,…}

A4={a41, a42, a43, a44,…}

…………………………

Нумерация начинается с элемента a11 и продолжается в направлении стрелок, повторяющиеся элементы при этом пропускаются.

Действительная функция 2-х действительных переменных. График функции двух переменных. Линии уровня. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Дифференцируемость, частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.
Предел функции одной переменной