Выделение главной части функции.
Выделение главной части функции - мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Основная цель выделения главной части - получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная громоздкая (тогда по теореме 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить громоздкие функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей - табл. 4.4.10 эквивалентных бесконечно малых.
Как следует из определений
разделов 4.4.8-4.4.11, утверждения "при х®а
1. f(x)~g(x); 2. f(x)-g(x)=o(g(x)) =o(f(x)); 3. g(x)
есть главная часть f(x)" эквивалентны. Так как для f(x) может существовать
бесконечно много главных частей при х®а
(например, при х®0 
~
~
~
~
~
~
…..), при выделении главных частей указывается их вид; при решении задач на вычисление
пределов при х®а обычно это С0(х-а)k для
бесконечно малых и 
для бесконечно больших, при х®¥
- это 
для бесконечно малых и
для бесконечно больших, где С0
= const¹0, k =const>0 – порядок
малости или роста функции f(x) относительно функции (х-а) (или относительно 
при х®¥).
Для главных частей такого вида бесконечно малых при х®а функций равносильны следующие утверждения: Непрерывность функции
двух переменных Функция называется непрерывной в точке , если она определена в
некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой
точке существует, и равен значению функции в этой точке
1. 
;
2.
, где a(х)
– БМ при х®а;
3. 
;
4.
, где 
;
f(x)
~ 
.
Таким образом, в простейших
случаях рецепт для выделения главной части вида С0(х-а)k БМ при х®а
функции f(x) состоит в следующем: f(x) надо представить в виде f(x)=
, где 
. Тогда , и - главная часть функции f(x) при х®а.
Аналогично изложенному выше, с заменой
(х-а)k на 
, формулируются утверждения
и правило для выделения главной части функции, бесконечно малой при х®¥.
Рассмотрим ряд примеров на выделение главной части и определение порядка малости функций (в скобках указываются применённые формулы табл. 4.4.10):
1. 
.
Представим f(x) в виде 
. Если
, то 
, поэтому 
, k=1 – порядок малости f(x) при х®0.
2. 
.
Представим f(x) в виде 
. Если
, то 
, поэтому 
, k=2 – порядок малости f(x) при х®¥
по сравнению с 
.
3. 
.
С помощью формул 4,6 таблицы 4.4.10 представим f(x) в виде 
. Здесь 
, 
, поэтому , k=1 – порядок малости f(x) при х®0.
4. 
.
Так как f(-2) = 0, то 
, и многочлен
делится на х + 2 без остатка.
Произведя деление, получим 
. Так как и f1(-2) = 0, то 
, поэтому 
, где 
. Результат: 
, 
- главная часть f(x), k=2 – порядок малости f(x) при
х®-2.
5. 
.
~
, где 
. Поэтому 
, 
- главная часть , k=5/6 (относительно БМ 
) при 
.
В следующих задачах решение излагается более кратко.
6. 
7.
.
8.
.
9.
Неаккуратность при решении последнего примера даст результат
верный, но бесполезный.
10. Пусть х ®+0. Тогда
Если рассматривается случай х®а ¹ 0, часто полезно сделать замену переменной у= х-а.
Пример:
11.
Пусть х®2. Найти главную часть БМ функции
(убедитесь, что f(x) ®0
при х®2). Перейдём к переменной у= х-2Þ х= у+2; у®0 при х®2. Меняем в функции
х на у+2:
Так
как у®0, мы пришли к задаче, рассмотренной
в примере 2. Ответ: 
, 
при х®2.
12.
Для функции, представляющей собой линейную комбинацию степенных выражений 
легко показать, что при х®0 f(x) эквивалентна
своему слагаемому с минимальной степенью: f(x)~
: 
и все слагаемые, кроме последнего, стремятся к нулю при
х®0, так как 
при i=1,2,…,k-1.
При х®¥ f(x) эквивалентна своему слагаемому с
максимальной степенью f(x)~
: 
и все слагаемые, кроме первого, стремятся к нулю при
х®¥,
так как 
при i=2,…,k.