Основные правила дифференцирования

Выделение главной части функции.

 Выделение главной части функции - мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Основная цель выделения главной части - получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная громоздкая (тогда по теореме 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить громоздкие функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей - табл. 4.4.10 эквивалентных бесконечно малых.

Как следует из определений разделов 4.4.8-4.4.11, утверждения "при х®а 1. f(x)~g(x); 2. f(x)-g(x)=o(g(x)) =o(f(x)); 3. g(x) есть главная часть f(x)" эквивалентны. Так как для f(x) может существовать бесконечно много главных частей при х®а (например, при х®0 ~~~ ~~~ …..), при выделении главных частей указывается их вид; при решении задач на вычисление пределов при х®а обычно это С0(х-а)k для бесконечно малых и  для бесконечно больших, при х®¥ - это  для бесконечно малых и  для бесконечно больших, где С0 = const¹0, k =const>0 – порядок малости или роста функции f(x) относительно функции (х-а) (или относительно   при х®¥). Для главных частей такого вида бесконечно малых при х®а функций равносильны следующие утверждения: Непрерывность функции двух переменных Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке

1. ;

2. , где a(х) – БМ при х®а;

3. ;

4. , где ;

f(x) ~ .

Таким образом, в простейших случаях рецепт для выделения главной части вида С0(х-а)k БМ при х®а функции f(x) состоит в следующем: f(x) надо представить в виде f(x)=, где . Тогда , и  - главная часть функции f(x) при х®а.

 Аналогично изложенному выше, с заменой (х-а)k на , формулируются утверждения и правило для выделения главной части функции, бесконечно малой при х®¥.

Рассмотрим ряд примеров на выделение главной части и определение порядка малости функций (в скобках указываются применённые формулы табл. 4.4.10):

1. . Представим f(x) в виде . Если , то , поэтому  , k=1 – порядок малости f(x) при х®0.

2. . Представим f(x) в виде . Если , то , поэтому  , k=2 – порядок малости f(x) при х®¥ по сравнению с .

3. . С помощью формул 4,6 таблицы 4.4.10 представим f(x) в виде . Здесь , , поэтому  , k=1 – порядок малости f(x) при х®0.

4. . Так как f(-2) = 0, то , и многочлен  делится на х + 2 без остатка. Произведя деление, получим . Так как и f1(-2) = 0, то , поэтому , где . Результат: ,  - главная часть f(x), k=2 – порядок малости f(x) при х®-2.

5. . ~, где . Поэтому ,  - главная часть , k=5/6 (относительно БМ ) при .

В следующих задачах решение излагается более кратко.

6.

7. .

8. .

9.

  Неаккуратность при решении последнего примера даст результат

  верный, но бесполезный.

10. Пусть х ®+0. Тогда

 

 Если рассматривается случай х®а ¹ 0, часто полезно сделать замену переменной у= х-а.

Пример:

11. Пусть х®2. Найти главную часть БМ функции  (убедитесь, что f(x) ®0 при х®2). Перейдём к переменной у= х-2Þ х= у+2; у®0 при х®2. Меняем в функции х на у+2:

Так как у®0, мы пришли к задаче, рассмотренной в примере 2. Ответ: ,  при х®2.

12. Для функции, представляющей собой линейную комбинацию степенных выражений   легко показать, что при х®0 f(x) эквивалентна своему слагаемому с минимальной степенью: f(x)~:  и все слагаемые, кроме последнего, стремятся к нулю при х®0, так как  при i=1,2,…,k-1.

При х®¥ f(x) эквивалентна своему слагаемому с максимальной степенью f(x)~:  и все слагаемые, кроме первого, стремятся к нулю при х®¥, так как  при i=2,…,k.

Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Задача разложения функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)a в степенной ряд. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные определения
Предел функции одной переменной