Основные правила дифференцирования

4.5.3.4. Неопределённость ¥-¥ также можно свести к предыдущим случаям: если f(x)®¥, g(x)®¥ при х®а, то . Дробь  даёт неопределённость . Если , получаем неопределённость , в других случаях неопределённость отсутствует. И здесь часто поступают по другому. Пример: . Чтобы избавиться от иррациональностей, перейдём к переменной у, связанной с х соотношением . При х®1 и у®1, поэтому 

4.5.3.5. Показательно-степенные неопределённости  сводятся к неопределённости  следующим образом:  (убедитесь, что во всех трёх случаях в показателе экспоненты получится неопределённость ). Однако неопределённости  ("типа е") часто сводят непосредственно ко второму замечательному пределу: пример 1. Асимптоты При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

  Пример 2.

Здесь мы заменили БМ  на эквивалентную у2/2 (ф.2 табл.4.4.10 и теор.4.4.9.2 о замене БМ на эквивалентные).

 Несколько примеров на представление функции  в виде :

3.  (пользуемся непрерывностью функции ). Рассмотрим предел, находящийся в показателе степени:

Возвращаемся к исходному пределу  

. Предел, находящийся в показателе степени:

(пример 4 раздела 4.5.1). Окончательно: .

 

. Предел в показателе степени:

. Рассмотрим эти пределы по отдельности. Второй  после замены , у ®+0 при х ®p/2-0, опять сводится к примеру 4 раздела 4.5.1 и равен нулю. Первый представляет собой неопределённость , раскроем её:

Ответ:

Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Задача разложения функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)a в степенной ряд. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные определения
Предел функции одной переменной