Основные правила дифференцирования

4.5.3.6. Как уже говорилось, выделение главной части функции в совокупности с теор.4.4.9.2 о замене БМ и ББ на эквивалентные - наиболее мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Пример: выделив главные части числителя и знаменателя, найти

. Решение: ~= x, ~~ ~~3x, поэтому

 Примеры с использованием полученных в разделе 4.5.2 главных частей:

 (примеры 1 и 3);

 (примеры 2 и 4) и т.д. Курс лекций по математике Аналитическая геометрия Решение дифференциальных уравнений

5. Непрерывность функций.

5.1. Определение непрерывности функции в точке.

 Опр.5.1.1. Пусть функция y = f(x) определена в точке х0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если:

существует ;

этот предел равен значению функции в точке х0: .

При определении предела подчёркивалось, что f(x) может быть неопределена в точке х0, а если она определена в этой точке, то значение f(х0) никак не участвует в определении предела. При определении непрерывности принципиально, что f(х0) существует, и это значение должно быть равно . Переведём опр.5.1.1 на язык e-d:

Опр.5.1.2. Пусть функция y = f(x) определена в точке х0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для "e>0 существует положительное число d, такое что для всех х из d-окрестности точки х0 (т.е. если |х- х0 |<d) выполняется неравенство | f(x) - f(х0) |<e.

Здесь учитывается, что значение предела должно быть равно f(х0), поэтому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотости d-окрестности 0<|х- х0 |.

Дадим ещё одно (равносильное предыдущим) определение в терминах приращений. Обозначим Dх=х - х0, эту величину будем называть приращением аргумента. Так как х ® х0, то Dх®0, т.е. Dх - БМ величина. Обозначим Dу = f(x) - f(х0), эту величину будем называть приращением функции, так как |Dу| должно быть (при достаточно малых |Dх|) меньше произвольного числа e>0, то Dу - тоже БМ величина, поэтому


Опр.5.1.3. Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Ещё одно равносильное определение на языке последовательностей:

Опр.5.1.4. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности  точек области определения, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции  сходится к f(х0):

.

Опр.5.1.5. Функция f(x) не являющаяся непрерывной в точке х0, называется разрывной в этой точке.

Опр.5.1.6. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Задача разложения функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)a в степенной ряд. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные определения
Предел функции одной переменной