Основные правила дифференцирования

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

Непрерывность суперпозиции функций.

Теор.5.2.1 о непрерывности суммы, произведения, частного. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны в точке х0. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)±.g(x), f(x)g(x),  (частное - в случае, когда g(х0)¹0).

Док-во непосредственно следует из теор.4.4.10 раздела 4.4.6 "Арифметические действия с пределами". Для примера докажем непрерывность частного. Пусть f(x), g(x) непрерывны в точке х0, т.е. , , причём g(х0)¹0. По теор.4.4.10 существует , и этот предел равен , что означает непрерывность функции  в точке х0. Курс лекций по математике Уравнение плоскости Решение дифференциальных уравнений

Теор.5.2.2 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки t0 и имеет , равный х0. Пусть точка  принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда существует, и . Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции

Док-во. Возьмём "e>0. Так как f(x) непрерывна в точке х0, то $s>0, такое что | х- х0|<sÞ Þ | f(x)- f(x0)|<e. Так как существует = х0, то для s $d>0, такое что 0<| t- t0|<d Þ

Þ |j (t)- х0|<s. Таким образом, для "e>0 мы нашли такое d>0, что из 0<| t- t0|<dÞ

Þ | f(x)- f(x0)|= | f(j (t))- f()|<e, что означает существование предела и равенство этого предела величине .

Теор.5.2.3 о непрерывности суперпозиции непрерывных функций. Пусть функция   непрерывна в точке точке t0. Пусть точка  принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда сложная функция  непрерывна в точке t0.

Док-во непосредственно следует из предыдущей теоремы. Так как j (t) непрерывна в точке t0, то . Поэтому , что и означает непрерывность сложной функции  в точке t0.

Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Задача разложения функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)a в степенной ряд. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные определения
Предел функции одной переменной