Основные правила дифференцирования

Непрерывность элементарных функций.

 Цель этого раздела - доказать факт, которым мы уже пользовались: любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

5.3.1. Непрерывность рациональных функций: 1. Постоянная функция y(х) = C = const, очевидно, непрерывна в любой точке (предел постоянной функции равен этой постоянной в любой точке).

Функция y(х)= х непрерывна в любой точке х ( для "e>0 возьмём d = e, тогда если | х- х0|<d, то | f(х)- f(х0)| = | х- х0|<e=d).

Функция y(х)= х2 = х х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций.

По индукции функция y(х)= хn = хn-1 х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций. По той же причине непрерывна функция y(х)= аnхn, где аn=C=const.

Рациональная функция  непрерывна в любой точке х как сумма непрерывных функций. Примеры решения и оформления задач контрольной работы Математика Примеры решения задач

5.3.2. Непрерывность дробно-рациональных функций:  непрерывна в любой точке х, в которой знаменатель отличен от 0, как частное непрерывных функций.

Непрерывность показательной функции . Требуется доказать, что . Рассмотрим разность (формула 6 табл.4.4.10)  . Эта разность - БМ функция при х® х0, следовательно, ах®  при при х® х0.

 Непрерывность логарифмической функции . По формуле 7 табл.4.4.10 эквивалентных БМ ~

5.3.5. Непрерывность тригонометрических функций: а. .

 при х ® х0 (мы воспользовались неравенством |sin х |£| х|, доказанным в 4.4.7.1. Первый замечательный предел). [an error occurred while processing this directive]

б.  непрерывна как суперпозиция непрерывных функций.

в. Функции  и непрерывны в точках, в которых они определены, как частное непрерывных функций.

5.3.6. Гиперболические функции непрерывны (thx в точках, в которых shx¹0), так как они определяются через непрерывную функцию ех. Обратные гиперболические функции непрерывны , так как они выражаются через непрерывную функцию ln x.

 Мы доказали непрерывность основных элементарных функций (кроме обратных тригонометрических, о которых ниже). Отсюда следует непрерывность всех элементарных функций в любой точке их областей определения, так как они определяются как функции, получающиеся из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций.

 5.3.7. Из доказанного следует непрерывность показательно-степенной функции , , так как она представляется в виде , т.е. в виде суперпозиции непрерывных показательной и логарифмической функций.

Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Задача разложения функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)a в степенной ряд. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные определения
Предел функции одной переменной