Основные правила дифференцирования

Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.

5.4.1. Определение односторонней непрерывности.

В определении непрерывности функции в точке х0 требуется существование   и равенство . С применением односторонних пределов определяются понятия непрерывности функции в точке слева и справа:

Опр.5.1.7. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 слева, если .

Опр.5.1.8. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 справа, если .

Опр.5.1.9. Если одно из этих условий не выполнено, то функция f(x) имеет в точке х0 разрыв, соответственно, слева или справа.

 Если функция определена на отрезке [a,b], то в левом конце отрезка х0= a можно говорить только о непрерывности справа, в правом конце (х0= b) - о непрерывности слева. Для внутренней точки отрезка функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа (доказать самостоятельно).

5.4.2. Классификация точек разрыва.

 Изложенное выше сводится к следующему: для того, чтобы функция f(x) была непрерывной во внутренней точке х0 области определения, необходимо и достаточно выполнение четырёх условий: 1. f(x) определена в точке х0 (т.е. $ f(х0)) и некоторой её окрестности;

2. $; 3. $;

Все эти три числа равны между собой: (в правом и левом концах области определения снимаются условия, относящиеся, соответственно, к пределам справа и слева).

Опр.5.1.10. Если хотя бы одно из перечисленных условий непрерывности функции в точке не выполняется, f(x) называется разрывной в точке х0, а сама точка х0 называется точкой разрыва функции f(x).

Рассмотрим возможные варианты:

Опр.5.1.11. Точка разрыва х0 называется точкой устранимого разрыва, если существуют односторонние пределы и они равны между собой (т.е. $).

Из этого определения следует, что точка разрыва х0 может быть точкой устранимого разрыва только в случае, когда значение f(x) в точке х0 либо не определено, либо не равно .

 Пример:

. Эта функция не определена в точке х0 = 0, но $Þ существуют односторонние пределы, и они равны. Следовательно, точка х0 = 0 - точка устранимого разрыва. Если доопределить функцию в этой точке:  то будет получена непрерывная в точке х0 = 0 функция, таким образом, разрыв будет "устранён".

Опр.5.1.12. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода (иногда применяется термин "скачок"), если существуют односторонние пределы, но они не равны между собой.

Пример:

 (сигнум, "знак-функция"). При х®+0 у(х)®1 (справа от точки 0 у(х)=const=1); при х®-0 у(х)®-1, у(х+0) и у(х-0) существуют и не равныÞточка х0 = 0 - точка разрыва первого рода.

Опр.5.1.13. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов  не существует ( в частности, он может быть бесконечным).

Для точек разрыва любого типа не требуется существования f(х0).

Пример: . Любая точка, кроме х0=0, принадлежит области определения, поэтому функция в ней непрерывна. При х®-0 1/x®-¥, поэтому 21/х®0, т.е. конечный предел слева существует. При х®+0 1/x®+¥, поэтому 21/х®¥, т.е. конечного предела справа не существует, следовательно, точка х0=0 - точка разрыва второго рода. Второй пример - функция , рассмотренный в разделе 4.4.1.1. Определение предела функции (график - слева; х¹0). Эта функция не имеет ни левого, ни правого односторонних пределов при х®0, т.е. х0=0 - точка разрыва второго рода.

5.4.3. Примеры разрывных функций. Исследование функций на непрерывность.

 Классическими примерами разрывных функций служат функции Дирихле и Римана, определённые в разделе 4.1. Определение функции. Терминология. Функция Дирихле  очевидно имеет разрывы второго рода в каждой точке, так как ни в одной точке не существует ни левого, ни правого пределов (раздел 4.4.1.1. Определение предела функции в точке). Относительно функции Римана

там же было доказано, что эта функция не имеет предела при х ® х0, если х0 рационально (следовательно, каждая рациональная точка - точка разрыва второго рода), и имеет предел, равный нулю, если х0 иррационально (следовательно, каждая иррациональная точка - точка непрерывности).

 Решение задач на исследование элементарных функций на непрерывность обычно не вызывает проблем, если хорошо осмыслены определения предела и непрерывности и наработана техника нахождения пределов. Примеры: Исследовать функции на непрерывность:

1. . , поэтому функция непрерывна во всех точках х¹0. Найдём . При х®-0 1/х® -¥, arctg(1/x)® -p/2; при х®+0 1/х®+¥, arctg(1/x)® p/2, т.е.  не существует, но существуют односторонние пределы, следовательно, точка х=0 - точка разрыва первого рода.

2. . Исследовать на непрерывность надо точку х1=1

и точки, в которых . Решая уравнение 1/(x-1)=2, находим х2=3/2. Пусть х®1-0, тогда х-1® -0, 1/(x-1) ® -¥, ®0, у®1/4. Пусть х®1+0, тогда х-1® +0, 1/(x-1) ® +¥, ®+¥, у®0. Пусть, далее, х®3/2-0, тогда х-1®1/2-0, 1/(x-1) ®2+0 (вследствие убывания функции 1/(x-1)), ®4+0, 4-® -0,

у® -¥. Если х®3/2+0, тогда х-1®1/2+0, 1/(x-1) ®2-0, ®4-0, 4-® +0, у® +¥. Если ещё убедиться, что при х®¥  и учесть монотонность функции на каждом из промежутков (-¥,1), (1, 3/2), (3/2,+¥), то полученной информации вполне достаточно для построения графика этой не самой простой функции. Результат: точка х1=1 - точка разрыва первого рода, точка х2=3/2 - точка разрыва второго рода.

3. . . Эта функция является элементарной функцией, поэтому она непрерывна во всех точках своей области определения. Исследуем точки х=±6. При х®+6 знаменатель стремится к нулю, числитель строго положителен, поэтому конечного предела быть не может, следовательно, это точка разрыва второго рода. При х® -6 получается неопределённость , раскрываем её:   при х® -6. Таким образом, точка х= -6 - точка устранимого разрыва.

Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Задача разложения функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)a в степенной ряд. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные определения
Предел функции одной переменной