Основные правила дифференцирования

Непрерывность и разрывы монотонной функции.

 Теор.5.5.1. Пусть функция  f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

 Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х0Î[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х0). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Совершенно также можно доказать, что функция, монотонно возрастающая на полуинтервале [a, х0), множество значений которой ограничено на этом интервале, обязана иметь . Действительно, так как множество  ограничено сверху (одна из верхних границ - значение f(х0)), оно имеет верхнюю грань М*, обладающую тем свойством, что для "e>0 $ х1Î[a, х0), в котором f(х1)> М* - e. По монотонности функции и по определению верхней грани для "х: х1>х> х0 справедливо неравенство М* - e< f(х1)< f(х)£ М*, что означает выполнение условий существования  с d= х0- х1. При этом возможны два варианта: либо f(х0)=М*, тогда f(х) непрерывна слева в точке х0; либо f(х0)>М*, тогда f(х) имеет в точке х0 скачок, т.е. разрыв первого рода.

 Следствие: если множество значений монотонно возрастающей на отрезке [a,b] функции f(х) полностью заполняет отрезок [f (a), f( b)] (т.е. для "уÎ[f (a), f( b)] $хÎ[a,b] такой, что f(х)= у), то эта функция непрерывна, легко доказать теперь от противного. Если в точке х0 имеется скачок, то f(х) не может принимать значений, попадающих в интервал (f(х0-0), f(х0)). Использование метода Фурье при решении первой краевой задачи

  Ещё одним следствием рассмотренных в этом разделе вопросов является непрерывность обратных тригонометрических функций.

5.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

 Для теорем этого раздела существенны оба отмеченные в названии обстоятельства: и то, что функция непрерывна, и то, что она рассматривается на замкнутом множестве - отрезке. Если не выполнены эти условия, то все теоремы перестают быть справедливыми. Напомним опр.5.1.6: функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, при этом в точках a и b предполагается непрерывность, соответственно, справа и слева.

 Теор.5.6.1 об обращении функции в нуль. Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то найдётся точка сÎ[a,b], в которой функция обращается в нуль: f(с) =0, a<c<b.

  Док-во. Рассмотрим случай, когда f(а)>0, f (b)<0. Возьмём среднюю точку отрезка х1=(а+b)/2. Если f(х1)=0, то теорема доказана и с =х1; иначе на концах одного из отрезков [a, х1], [х1,b] функция опять принимает значения разных знаков (на рис. это второй отрезок), при том опять на левом конце f(х)>0, на правом - f(х) <0. Обозначим этот отрезок [a1, b1]. Снова поделим этот отрезок пополам: х2=(а1+b1)/2 и снова либо f(х2)=0, либо на концах одного из отрезков [a1, х2], [х2,b1] функция опять принимает значения разных знаков. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных отрезков [an, bn], имеющую, по аксиоме VII раздела 3.1. Аксиомы действительных чисел общую точку с. Для этой точки an£ с £ bn, bn-аn®0 при n®¥, поэтому . В каждой точки аn справедливо f(аn)>0, в каждой точки bn f(bn)<0, переходя в неравенствах f(аn)>0, f(bn)<0 к пределам при n®¥ и пользуясь непрерывностью f(х), получим: , , одновременно это может иметь место, только если : f(с) =0. Теорема доказана.

 Необходимость непрерывности: функция sgn x + 0.5 принимает на концах отрезка [-1,1] значения разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Необходимость замкнутости множества: функция 1/x непрерывна в каждой точке множества [-1,0)È(0,1], принимает  значения разных знаков в его левом и правом концах, но нигде не обращается в нуль.

Теор.5.6.2 о промежуточном значении. Если функция f(х) непрерывна на отрезке, и в двух точках a и b (a < b) принимает неравные значения A= f(а)¹B= f(b), то для любого числа С, лежащего между A и B, найдётся точка сÎ[a,b], в которой значение функции равно С: f(с) = С.

  Док-во. Пусть A>B, тогда A>С>B. Рассмотрим функцию g(х)= f(х)-C. Эта функция непрерывна на [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков: g(а)= f(а)-C=А-С>0, g(b)= f(b)-C=В-С<0. Тогда по теор.5.6.1 об обращении функции в нуль найдётся точка сÎ[a,b], в которой функция обращается в нуль: g(с) =0Þ g(с)= f(с)-C=0Þ f(с) = C. Теорема доказана.

Теор.5.6.3 об ограниченности непрерывной функции на отрезке. Если функция f(х) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

  Док-во от противного. Предположим, что f(х) неограничена на [a,b], тогда для любого числа n найдётся точка xn, в которой | f(х)|> n. Из последовательности { xn } можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к точке x0Î[a,b]. Так как f(х) непрерывна на [a,b], то , но это невозможно, так как  при . Это противоречие и доказывает теорему.

Необходимость непрерывности: функция разрывна в единственной точке отрезка [-1,1], но неограничена на этом отрезке. Необходимость замкнутости множества: функция 1/x непрерывна в каждой точке множества [-1,0)È(0,1], но неограничена на этом множестве.

Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Задача разложения функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)a в степенной ряд. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные определения
Предел функции одной переменной