Основные правила дифференцирования

Теор.5.6.4 о достижении минимального и максимального значений. Если функция f(х) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.

Док-во. Пусть М*=. Требуется доказать, что , в котором f(х1)=М*. От противного: предположим, что для  f(х)<М*. Рассмотрим функцию . Так как, по предположению, знаменатель не обращается в нуль, эта функция непрерывна, следовательно, по Теор.5.6.3 об ограниченности непрерывной функции на отрезке ограничена: Û, т.е. число , меньшее М*, оказывается верхней границей множества , что противоречит определению верхней грани. Аналогично доказывается, что , в котором f(х2)= М*=.

Необходимость непрерывности и замкнутости множества демонстрируют те же примеры, что и для предыдущей теоремы.

Следствие всех предыдущих теорем: множество значений непрерывной на отрезке [a,b] функции заполняет весь отрезок [М*, М*]. В дальнейшем величину   будем обозначать просто М, величину  будем обозначать символом m.

Теор.5.6.5 о непрерывности обратной функции. Пусть функция у= f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [m,М] существует обратная функция х = g(у), также монотонно возрастающая (убывающая) на [m,М] и непрерывная.

Док-во. Как доказано выше, множество значений непрерывной функции заполняет весь отрезок [m,М], т.е. для "уÎ[m,М] $! хÎ[a,b], такой что у= f(x). Таким образом, функция х = g(у) определена в каждой точке отрезка [m,М]. Эта функция имеет тоже направление монотонности, что и исходная у= f(x): если, например, f(x) возрастает, то из Þ. Тогда, по смыслу функции х = g(у), из Þ. Эта функция непрерывна по следствию из Теор.5.5.1. [an error occurred while processing this directive]

6. Дифференцируемость функций.

6.1. Определение производной функции.

6.1.1. Задачи, приводящие к понятию производной.

 6.1.1.1. Вычисление скорости неравномерно движущегося тела. Пусть материальная точка неравномерно движется вдоль оси Ох. Известна зависимость пути s(t), пройденного к моменту времени t от времени, требуется найти значение скорости точки в момент t0. Если мы возьмём любое t1¹ t0 и найдём отношение  , то будет получено среднее значение  скорости на отрезке [t0, t1]. Чтобы получить мгновенное значение скорости в момент t0, мы должны устремить t1 к t0, т.е. найти предел , где Dt= t1- t0, Ds= s(t1)- s(t0).

 6.1.1.2. Нахождение углового коэффициента касательной к графику функции.

 Опр. 6.1.1.2. Касательной к графику функции y=f(x) в точке M0(x0,y0=f(x0)) называется предельное положение секущей M0M1 при M1® M0.

Угловой коэффициент секущей равен . Чтобы получить угловой коэффициент касательной, в этом выражении надо перейти к пределу при M1® M0, или, что тоже самое, при х1® х0. Следовательно, , где . Величины Dх и Dу называются, соответственно, приращением аргумента и функции. Таким образом, при решении этих совершенно разных задач, как и множества других задач науки и техники, требуется находить предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Это приводит к определению основного понятия дифференциального исчисления - понятия производной.

Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Задача разложения функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)a в степенной ряд. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные определения
Предел функции одной переменной