Основные правила дифференцирования

Определение производной.

 Опр.6.1. Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение Dх (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции Dу=f(x+Dх)- f(x). Передел отношения приращение функции Dу к приращению аргумента Dх при Dх ®0 называется производной функции y=f(x) в точке х.

Производную обозначают разными способами. Наиболее распространённые обозначения - . Чаще мы будем применять первое из этих обозначений. Таким образом, . Операция нахождения производной называется дифференцированием.

6.1.3. Геометрический смысл производной.

Уравнения касательной и нормали к графику гладкой функции.

 Геометрический смысл производной у'(x0), как следует из вышеизложенного, - угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,y0=f(x0)). Не любая функция имеет касательную в каждой точке, так, невозможно построить касательную к графику функции |x| в точке (0,0). Чтобы в точке (x0,y0=f(x0)) существовала касательная, необходимо существование предела , т.е. существование производной. Функции, имеющие производную в каждой точке своей области определения (т.е. функции, графики которых имеют касательную в каждой точке), будем называть гладкими. Применяя известные формулы аналитической геометрии для прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом, получаем: Аналитическая геометрия. Уравнение линии на плоскости. Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

уравнение касательной в точке (x0,y0=f(x0)): ;

уравнение нормали к графику функции в точке (x0,y0=f(x0)):  (при условии, что у'(x0)¹0).

6.2. Производные некоторых элементарных функций.

1. у = С = const. Так как у = С = const, то для "Dх Dу=0, поэтому .

2. у = х. В Этом случае Dу= (х+Dх)-х=Dх, поэтому .

3. у = ха . = при Dх®0 (по формуле 8 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому .

4. . = при Dх®0 (по формуле 6 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому  (a>0, a ¹ 1). Следствие: .

5. . ~ при Dх®0 (по формуле 7 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому  (a>0, a¹1, x>0 ).

Следствие: .

6. . = = (по формуле 1 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому .

7. .  и, далее, так же как в в предыдущем случае, получаем .

Начальные и краевые задачи. Общее и частное решения. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения; линейные уравнения; уравнения в полных дифференциалах. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Предел функции одной переменной