Основные правила дифференцирования

Примеры вычисления производной.

 Вывод формул производных функций, в которых применяются только арифметические действия, обычно не представляет трудностей:

1.

Эти действия должны выполняться автоматически, с минимальным числом промежуточных этапов. Немного сложнее задачи, в которых участвуют сложные функции: Парабола. Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

2.. Здесь в соответствии с выведенной 6.3.5 формулой для производной сложной функции , , поэтому .

3. . Здесь: , поэтому . Интересно, что результат только знаком отличается от производной функции , почему?

4. Если функция включает несколько суперпозиций, правило дифференцирования сложной функции применяется несколько раз:

И здесь все действия должны быть доведены до автоматизма:

5. .

 Приведём ещё один приём, которым приходится пользоваться при дифференцировании - логарифмическое дифференцирование. Иногда проще продифференцировать логарифм данной функции, чем саму эту функцию. Это может быть, например, если функция представляет собой произведение большого числа сомножителей, или показательно-степенное выражение. Выведем формулу для производной показательно-степенной функции:

. Логарифмируем это выражение: . Дифференцируем обе части этого равенства по х, учитывая сложную зависимость от х в логарифмах:

.

Окончательно: . Пример:

6.

Начальные и краевые задачи. Общее и частное решения. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения; линейные уравнения; уравнения в полных дифференциалах. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Предел функции одной переменной