Основные правила дифференцирования

Односторонние и бесконечные производные.

 В этом разделе будут рассмотрены особые случаи, которые могут встретиться при нахождении производных.

 6.7.1. Односторонние производные. Пусть х - правый или левый конец [a,b] отрезка, на котором определена функция. Тогда при вычислении предела отношения  в точке а мы можем рассматривать только случай , в точке b - только случай , т.е. искать односторонние пределы. Соответственно, полученные производные называются односторонними производными справа или слева. Графики функции будут иметь в этих случаях односторонние касательные.

 Возможно, и во внутренней точке отрезка [a,b] пределы отношения   существуют при  и при , но не равны между собой. Это означает, что функция не имеет производной в этой точке, однако полученные пределы и в этом случае называются односторонними производными справа и слева; для графика функции существуют только односторонние касательные, сама точка на графике в этом случае называется угловой.

 6.7.2. Бесконечные производные. Если предел отношения  при  равен ¥ (или +¥, или -¥), то эти несобственные числа тоже называют производной, и обозначают обычным образом, например . Аналогично определяются односторонние бесконечные производные. Геометрически это означает, что график функции в соответствующей точке имеет касательную, параллельную оси Оу. Возможные сочетания бесконечных односторонних производных приведены на рис. справа.

Линейная модель торговли Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответственно x1, x2, … , xn расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

6.7.3. Примеры несуществования и разрывов производных. Функции у = |x| и  не имеют обычной производной в нуле. Для графика функции |x| точка (0,0) является угловой; функция  (график справа) в этой точке не имеет даже односторонних производных: если х = 0, то , эта функция рассматривалась в 4.4.1. Предел функции как пример функции, не имеющей предела в нуле (пример 4). Ещё один интересный пример - функция . Её производная при  равна  и не имеет предела при . В тоже время прямое вычисление производной в точке х = 0 даёт  

 при . Таким образом, эта функция имеет нулевую производную в точке х = 0, но пределы  не существуют, т.е. производная претерпевает в точке х = 0 разрыв второго рода, так же как и предыдущая функция. 

Начальные и краевые задачи. Общее и частное решения. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения; линейные уравнения; уравнения в полных дифференциалах. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Предел функции одной переменной