Основные правила дифференцирования

Правила для вычисления дифференциала. Примеры вычисления дифференциала. Правила для вычисления дифференциала - прямое следствие правил дифференцирования (раздел 6.5):

;

;

;

.

Докажем, для примера, формулу 3: .

При нахождении дифференциала можно вычислить производную и затем применить формулу :

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

, поэтому ;

но более квалифицированным является прямое применение правил вычисления дифференциала:

6.8.4. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Именно близость исходной функции и её касательной в окрестности точки касания служит источником многочисленных приближённых формул для вычисления значений функций. По теор.6.2 (раздел 6.4. Формула для приращения функции, имеющей производную) Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0; с учётом того, что у'(x) Dх = у'(x)dх = dy, пренебрегая бесконечно малым слагаемым высшего порядка по сравнению с Dх, получим Dу @ dу. Так как Dу=у(x+Dх)- у(x), то формула для приближённого значения у(x+Dх) будет иметь вид у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх. На практике этой формулой пользуются так. Пусть требуется вычислить значение функции в точке х1. Подбирают близкую к точке х1 точку x, в которой легко вычислить точное значение у(x) и у'(x), тогда Dх = х1- х и у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх. Примеры:

Вычислить . В этом случае , функция и производная легко вычисляется в близкой точке х=32, у(х)=2, у'(х)=1/(5*24)=1/80, х1=30, Dх =30-32= -2, и

  @2-2/80 = 1.975 (более точное значение 1.97435).

Вычислить sin(0.5). y(x)=sinx, y'(x)=cosx, в качестве х примем x = p/6@0.524, х1=0.5,

Dх =0.5-0.524= -0.024, y(x)=0.5, y'(x)=@0.866, y(х1) @ 0.5 - 0.024*0.866@0.5-0.021=0.479 (более точное значение 0.47943).

6.9. Таблица производных и дифференциалов.

  Соберём полученные в разделах 6.2, 6.3, 6.5 выражения для производных и следующие из них выражения для дифференциалов в одну таблицу:

y(x)

y'(x)

dy

y(x)

y'(x)

dy

1

y = C

0

0

10

2

у = ха

a ха-1

a ха-1dx

11

3

12

3a

14

4

15

4a

16

5

17

6

18

7

19

8

20

9

21

Начальные и краевые задачи. Общее и частное решения. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения; линейные уравнения; уравнения в полных дифференциалах. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Предел функции одной переменной