Математика - множества, функции, пределы, производная

Теорема Ролля.

 Теор.7.2. Пусть функция f (х): 1. непрерывна на отрезке [a,b]; 2. дифференцируема в каждой точке интервала (a,b); 3. принимает на концах отрезка равные значения: f(a) = f(b).

 Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с, в которой производная функции равна нулю: f '(с) = 0.

 Док-во. f (х) непрерывна на [a,b], поэтому, по Теор.5.6.4 о достижении минимального и максимального значений, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Возможны случаи: 1. m = M. Это означает, что функция постоянна на [a,b]: f (х) = m = M. Тогда в каждой точке сÎ[a,b]

 f '(с) = 0.

2. m < M. Так как f(a) = f(b), то хотя бы одно из этих значений достигается во внутренней точке с отрезка. Тогда из теоремы Ферма 7.1.3 следует, что f '(с) = 0.

Так как к теореме Ролля сводятся доказательства остальных теорем, установим обязательность приведённых в формулировке теоремы требований: 1. Непрерывность функции f (х) необходима для справедливости теоремы: функция  удовлетворяет на отрезке [0,1] всем условиям теоремы, за исключением того, что имеет единственную точку разрыва x=1, и её производная f '(х) = 1 ¹ 0 в любой точке интервала (0,1); 2. Существование производной f '(x) в любой точке интервала (0,1) также необходимо: функция f(х)=|x| удовлетворяет всем условиям теоремы на отрезке [-1,1], за исключением того, что не имеет производной в точке x=0, и f '(х) = -1 ¹ 0 при хÎ(-1,0), f '(х) = 1 ¹ 0 при хÎ(0,1); 3. Условие f(a) = f(b) также необходимо для справедливости теоремы (контрпример - f (х) = х).

7.3. Теорема Лагранжа. Аналитическая геометрия на плоскости

 Теор.7.3. Пусть функция f (х): 1. непрерывна на отрезке [a,b]; 2. дифференцируема в каждой точке интервала (a,b).

  Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с (a<с<b), в которой .

 Док-во. Рассмотрим на отрезке [a,b] вспомогательную функцию

. Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля (она 1. непрерывна как разность между непрерывной f (х) и непрерывной линейной функцией; 2. в любой точке интервала (a,b) имеет производную ; 3. на концах отрезка [a,b] принимает одинаковые значения:  ). Следовательно, по теореме Ролля, $сÎ(a,b), для которой , т.е. .

 Геометрический смысл теоремы Лагранжа : так как отношение   равно угловому коэффициенту секущей АС, на кривой АС найдётся по крайней мере одна точка , в которой касательная параллельна хорде АС. Следующая из теоремы Лагранжа формула  называется формулой конечных приращений Лагранжа, она позволяет оценить приращение функции на отрезке [a,b] через приращение аргумента и оценку значений производной на интервале (a,b) и часто применяется в математическом анализе.

Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Вычисление частных производных неявно заданной функции. Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных. Дифференциалы высших порядков.
Примеры вычисления производной