Математика - множества, функции, пределы, производная

Теорема Коши.

 Теор.7.4. Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке [a,b]; 2. имеют производные f '(x) и g'(х) на интервале (a,b); 3. g'(х) ¹ 0 на интервале (a,b). Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с (a<с<b), в которой .

 Док-во. Отметим предварительно, что g(b) ¹ g(a) (иначе по теореме Ролля нашлась бы точка сÎ(a,b), в которой  g '(с) = 0, что противоречит условию теоремы), так что дробь в правой части формулы Коши имеет смысл. Рассмотрим функцию . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля (проверить!), поэтому $ сÎ(a,b), в которой F '(с) = 0. , поэтому в точке с , т.е. , что и требовалось доказать.

 Легко убедиться, что теорема Лагранжа - частный случай теоремы Коши при .

7.5. Теоремы Лопиталя.

 Теор.7.5 (неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке 

[a, b]; 2., ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a,b), причём g'(х) ¹ 0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует, и . [an error occurred while processing this directive]

 Док-во. Так как функции f (х) и g (х) непрерывны в точке а, то , , и . Для функций f (х) и g (х) на отрезке [a, х] выполняются условия теоремы Коши, поэтому существует точка сÎ(a, х), такая что . Устремим , при этом и . В пределе получим, что и требовалось доказать.

 Распространим доказанную теорему на случай :

Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Вычисление частных производных неявно заданной функции. Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных. Дифференциалы высших порядков.
Примеры вычисления производной