Математика - множества, функции, пределы, производная

Теор.7.6. Пусть функции f (х) и g (х): 1. определены и непрерывны на бесконечном полуинтервале [a, +¥), а>0; 2., ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a, +¥), причём g'(х) ¹ 0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует , и .

 Док-во. Перейдём к новой переменной t=1/x; x=1/t. Если , то . На отрезке  рассмотрим функции  и . Эти функции удовлетворяют условиям теоремы 7.5, поэтому . С другой стороны, , откуда и следует справедливость утверждения теоремы.

 Сформулируем без доказательства теорему, которая позволяет раскрывать неопределённости вида :

 Теор.7.7 (неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на полуинтервале (a, b]; 2., ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a,b), причём g'(х) ¹ 0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует, и . Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл

Теорема остаётся справедливой и для случаев . В целом теоремы Лопиталя - это мощное средство для раскрытия неопределённостей всех видов.

7.6. Раскрытие неопределённостей с помощью правила Лопиталя.

Сравнение скорости роста логарифмической, степенной и показательной функций при .

 Ниже приводятся примеры применения правила Лопиталя для раскрытия неопределённостей. Подчеркнём, что в теоремах Лопиталя предполагается существование предела отношения производных, поэтому бессмысленно пытаться применить это правило к раскрытию, например, следующей неопределённости:

, и предела в правой части не существует. В тоже время эта неопределённость легко раскрывается элементарными методами:

.

7.6.1. Неопределённость .

.

.

Если правило Лопиталя снова приводит к неопределённости, оно может применяться неоднократно. При этом допустимы упрощения полученных выражений, сокращение общих множителей, использование известных пределов и т.д.:

  7.6.2. Неопределённость.

4.

  В следующих двух примерах мы сравним скорость роста при   логарифмической , степенной  и показательной  функций:

5. .

6. Предел  найдём вначале в случае, когда  - натуральное число. Применяя правило Лопиталя n раз, получим:

.

Пусть теперь b - произвольное вещественное число, b >0. Тогда n = E(b) £b< n+1,

 . Переходим к пределу при . Пределы отношений, стоящих слева и справа, равны нулю; по теор.4.4.6 о пределе промежуточной функции .

Вывод: при  = о(),=о() (), т.е. при  ББ функция  имеет более высокий порядок роста, чем ББ функции   и ; ББ функция  имеет более высокий порядок роста, чем ББ функция .

Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Вычисление частных производных неявно заданной функции. Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных. Дифференциалы высших порядков.
Примеры вычисления производной