Математика - множества, функции, пределы, производная

Формула Тейлора.

7.7.1. Формула Тейлора для многочленов. Рассмотрим следующую простую задачу. Дан многочлен по степеням х: . Требуется представить функцию Р3(x) в виде многочлена по степеням (x+2). Решение: представим х в виде (х+2)-2. Тогда

Решим эту задачу по другому: попытаемся выразить коэффициенты разложения многочлена по степеням (x+2) через производные функции Р3(x). Действительно, если , то а0 = Р3 (-2) = 3(-2)3-4(-2) 2+5=

=-11 (первые три слагаемых в правом представлении при подстановке х = -2 обращаются в нуль). Дифференцируя Р3(x), получим . Подстановка в это равенство х = -2 даёт а1 = Р3'(-2) = 9(-2) 2-4= 32. Находим Р''3 (x): , откуда при х = -2 получим . Находим Р3'''(x):

, откуда .

  Рассмотрим эту задачу в общем случае: пусть

выразим коэффициенты этого многочлена через его производные в точке х0. Взяв х = х0, получим . Дифференцируем :

Следовательно, . Находим вторую производную :

  Следовательно, . Находим третью производную :

Следовательно, . Далее, находя четвёртую производную, получим  и т.д. Окончательно: , i = 0,1,2,…,n, и

Эта формула и называется формулой Тейлора для многочленов. (Под производной функции f(x) нулевого порядка понимается сама функция f(x); напомним, что 0! = 1 по определению).

7.7.2. Формула Тейлора для произвольной функции. Пусть теперь f(x) - произвольная функция, которая в точке х0 имеет производные всех порядков до n-го включительно. Построим с помощью производных этой функции многочлен Тейлора n-ой степени:

 

Значения этого многочлена и его производных до n-го порядка в точке х0 совпадают с производными функции f(x): = f(x0), , однако, если f(x) - произвольная функция, мы не можем утверждать, что ; многочлен   лишь даёт некоторое приближение к f(x). Разность

  

называется остаточным членом формулы Тейлора и характеризует погрешность этого приближения. Функция Rn(x) обладает тем свойством, что и сама Rn(x), и все её производные вплоть до n-го порядка в точке х0 равны нулю. Оценить эту функцию можно различными способами; мы рассмотрим две наиболее часто применяемые формы представления этой функции.

Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Вычисление частных производных неявно заданной функции. Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных. Дифференциалы высших порядков.
Примеры вычисления производной