Математика - множества, функции, пределы, производная

Форма Пеано остаточного члена формулы Тейлора.

Лемма 7.8. Пусть для функции Rn(x) существуют все производные вплоть до n-го порядка и выполняются условия . Тогда при  эта функция является бесконечно малой выше n-го порядка по сравнению с х- х0.

Док-во проведём по методу математической индукции. Если n = 1 и L(x0) = L'(x0) = 0, то, по теор.6.2 о приращении дифференцируемой функции DL = L(x) - L(x0) = L(x) = L'(x0)Dx+ a(Dx)Dx =a(Dx)Dx= о(Dx)= о(x- x0) (a(Dx) - БМ при Dx®0). Пусть теперь утверждение леммы справедливо для n-1 (т.е. если , то

L(x)=о(x- x0)n-1), докажем, что оно верно и для n. Пусть для функции Rn(x) выполняются условия . Функция Rn'(x)=L(x) удовлетворяет утверждению леммы c n-1, поэтому R'n (x) = о(x- x0)n-1. Тогда по формуле конечных приращений Лагранжа (7.3) Rn(x) = Rn(x) - Rn(x0) = R'n(с)( x- x0), где с находится x между и x0, и так как

| с- x0 | <| x- x0 |, то R'n(с) = о(с- x0)n-1 = о(х- x0)n-1, поэтому Rn(x) = R'n(с)( x- x0) =

= о(х- x0)n-1( x- x0) = о(х- x0)n, что и требовалось доказать. Элементы системы массового обслуживания Формулировка задачи и характеристики СМО Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).

 Таким образом, для остаточного члена мы получили оценку Rn(x) = о(х- x0)n. Так как , то окончательно

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

7.7.4. Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора. Если в окрестности   точки x0 существуют все производные функции f(x) до n+1-го порядка, можно получить другое представление остаточного члена: , где , точка с расположена между x и x0. Это представление остаточного члена называется формой Лагранжа.

Докажем это утверждение. Заметим, что . Вместе с функцией Rn(x) рассмотрим функцию . Эта функция, как и Rn(x), имеет в точке x0 n равных нулю производных: , а . К паре функций Rn(x),  на отрезке  применим теорему Коши: , где точка  расположена между x и x0. Далее к паре функций R'n(x),  на отрезке  снова применим теорему Коши: , где точка  расположена между x и . Продолжим этот процесс для R"n(x), , R'''n(x),  и т.д., окончательно получим: . Итак, , откуда  (мы переобозначили ), что и требовалось доказать.

Число с удобно записать в виде , где , тогда .

Итак, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

Частный случай формулы Тейлора в случае x0 = 0 принято называть формулой Маклорена. Так, формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа такова:

Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Вычисление частных производных неявно заданной функции. Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных. Дифференциалы высших порядков.
Примеры вычисления производной