Исследование функций и построение их графиков.

8.1. Условие постоянства функции.

 Теор.8.1. Пусть функцияимеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была постоянной на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия  для .

Док-во. Необходимость. Если f(x) постоянная на , то  для .

• Понятие производной n-го порядка Производная f'(x) функции f(x) сама является функцией аргумента х, и по отношению к ней также можно ставить вопрос о производной. Производная от первой производной некоторой функции у = f(x) называется второй производной, или производной второго порядка этой функции. Производная от второй производной называется третьей производной, или производной третьего порядка. Этот процесс можно продолжить. Производные начиная со второй называются производными высших порядков. Для их обозначения используют символы: у", у'", у(4), у(5), ..., у(n) (для второй и третьей производных соответственно еще и у(2) и у(3)) или вместо у пишут f(x): f"(x), f"(х), ..., f(n)(x).

Достаточность. Пусть  для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. значения функции в двух любых точках интервала совпадают, следовательно, .

8.2. Условия монотонности функции.

Теор.8.2.1. Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была монотонно возрастающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия  для . Для того, чтобы функция  была монотонно убывающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия  для .

 Док-во. Необходимость. Если  f(x) монотонно возрастает, то для любых , при  выполняется .

Достаточность. Пусть  для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е.  монотонно возрастает на .

 Случай монотонного убывания рассматривается аналогично.

 В случае, рассмотренном в Теор.8.2.1, мы не исключаем для функции   возможность оставаться постоянной на некотором подынтервале  ( и, как следствие, для её производной быть равной нулю на этом подынтервале). Если эту возможность исключить, получим условия строгой монотонности функции на интервале:

Теор.8.2.2. Условие строгого возрастания функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция строго возрастала на интервале , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

 для ;

  не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала.

Док-во. Необходимость. Если f(x) строго возрастает, то, по теор.8.2.1   для ; при этом  не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала, так как в этом случае по теор.8.1  была бы постоянной на этом подынтервале, что противоречит условию строгого возрастания.

Достаточность. Если выполняются условия теоремы, то, по теор.8.2.1, f(x) не убывает. Предположим, что для двух точек и  интервала значения функции равны: . Тогда, вследствие неубывания f(x), для  , т.е.  постоянна на  на этом интервале, что противоречит второму условию теоремы.

  Случай строгого убывания рассматривается аналогично.