Математика - множества, функции, пределы, производная

8.4.2. Второй достаточный признак экстремума (в стационарной точке, по знаку второй производной). Пусть функция  в стационарной точке имеет не только первую, но и вторую производную. Тогда если , то  - точка минимума, если , то  - точка максимума.

Это правило непосредственно следует из теоремы 7.1.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции и из первого достаточного признака экстремума 8.4.1: если  - стационарная точка (), и , то производная  возрастает в точке . Так как , то  отрицательна при  и положительна при  в некоторой окрестности точки , т.е. меняет знак с "-" на "+" при переходе через критическую точку , следовательно,  - точка минимума. Если  - стационарная точка, и , то совершенно также доказывается, что  - точка максимума.

8.4.3. Третий достаточный признак экстремума (в стационарной точке, по старшим производным). Мы получили уже два достаточных признака наличия экстремума функции в точке, но даже с их помощью затруднительно ответить на вопрос: имеет ли функция  экстремум в точке ? И первая, и вторая производные функции в этой точке равны нулю; исследовать знак первой производной в окрестности точки  непросто. Ответ на этот вопрос даёт следующее правило: пусть функция  имеет в точке  все производные вплоть до n-го порядка, причём  . Тогда, если n (порядок первой отличной от нуля производной) нечётно, то экстремум в точке  отсутствует; если n чётно, то при   - точка минимума, при   - точка максимума.

Док-во. При сделанных предположениях относительно производных функции   её разложение в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеет вид

, где  при . При х, достаточно близких к , знак последнего выражения определяется знаком . Если n нечётно, то разность  меняет знак при переходе через точку , т.е. экстремум отсутствует. Если n чётно, то эта разность сохраняет знак при переходе через точку , при этом если , то эта разность отрицательна, т.е.   - точка максимума, если , то эта разность положительна, т.е.  - точка минимума. Линейные операции над векторами в координатах

Для функции  получим: , ; , ; , ; , ; , ; порядок первой отличной от нуля производной нечётен, следовательно, эта функция экстремума в точке 0 не имеет.

Определения максимума и минимума. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений. Условные экстремумы. Квадрируемые фигуры и их площади. Понятие двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием.
Примеры вычисления производной