Математика - множества, функции, пределы, производная

Схема исследования функций и построения графиков.

 Сведём рассмотренные в этом разделе отдельные элементы в один алгоритм, с помощью которого исследуются функции и строятся их графики.

Общий характер функции:

область определения функции и, если это возможно, область её значений;

наличие чётности, периодичности;

нахождение, если это возможно, пересечений графика функции с осями координат и областей её знакопостоянства (граничными точками интервалов знакопостоянства могут быть только концы интервалов области определения, точки разрыва, нули функции);

область непрерывности функции, её разрывы и их характер;

пределы при стремлении к границам области определения (при этом будут получены уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот, если они есть);

наличие наклонных асимптот. Матричный метод решения систем линейных уравнений

II. Исследование функции с помощью первой производной на экстремумы и участки монотонности. Граничными точками интервалов монотонности функции могут быть только концы интервалов области её определения, точки разрыва, критические точки первого рода.

Исследование функции с помощью второй производной на выпуклость и точки перегиба. Граничными точками интервалов выпуклости графика функции могут быть только концы интервалов области её определения, точки разрыва, критические точки второго рода.

После первого этапа исследования полезно построить примерный график, который уточняется в результате второго и третьего этапов.

Примеры:

1. .

I. ; общего вида; непериодична;  при ;

; ; ; ; точка  - точка разрыва второго рода; прямая  - вертикальная асимптота. Ищем наклонные асимптоты: ; ; прямая  - двусторонняя наклонная асимптота. Интервалы знакопостоянства функции:

II.

. Критические точки первого рода: , . Определяем интервалы монотонности (в таблицу включаем концы интервалов области определения и критические точки):

 

 +

 0

 -

 -

 0

 +

 Мax=0

Не опред.

Min=

III.

Критические точки второго рода: , . Определяем интервалы выпуклости графика:

 

 +

 0

 -

 0

 -

 +

Точка перегиба

Нет перегиба

Не опред.

График функции приведён на рисунке справа.

2. .

I. ; общего вида; непериодична. ; ;

; . Точка - точка разрыва второго рода; прямая  - вертикальная асимптота. Так как функция не определена при , ищем только правую наклонную асимптоту: , , наклонной асимптоты нет. Функция принимает отрицательные значения на интервале , положительные значения на интервале .

II. , единственная стационарная точка - . Интервалы монотонности:

 

 -

 -

 0

 +

Не опред.

Min=

III. , - критическая точка второго рода. Интервалы выпуклости:

 

 -

 +

 0

 -

Не опред.

Точка перегиба

График функции приведён на рисунке справа

3. .

I. ; общего вида; непериодична;  при   и ; ; . Находим и : ; , асимптот нет. Первый эскиз графика функции приведён справа.

II. , критические точки первого рода , . Таблица изменения знаков производной:

 

 -

 

 +

 0

 -

 Мin=0

 Mах=1

Отмечаем, что первый эскиз неправильно описывает поведение функции в окрестности точки 0.

Определения максимума и минимума. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений. Условные экстремумы. Квадрируемые фигуры и их площади. Понятие двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием.
Примеры вычисления производной