Математика - множества, функции, пределы, производная

III. .   для , выпуклость графика направлена вверх, точек перегиба нет.

 Окончательный вариант графика:

4. .

I. ; общего вида; периодична, период Т=2 , поэтому достаточно построить функцию на одном периоде, например, на . Находим значения функции на концах этого отрезка: . При  ; найдём нули функции:

На отрезке   расположены два нуля функции:   и .  на интервалах  и ,  на интервале . В силу периодичности функции нет необходимости искать пределы функции на бесконечности и асимптоты.

II. . Ищем критические точки первого рода:  при  и , на отрезке  находятся три таких точки: ,  и . Характер критических точек определяем с помощью второй производной:

; , , ; точка  - точка максимума с , точка  - точка минимума с . Для определения характера точки  найдём  , . Первая отличная от нуля производная в точке  имеет нечётный порядок, т.е. в этой точке экстремума нет. Всю информацию отражаем на эскизе графика.

III. Находим критические точки второго рода: , на отрезке  находятся четыре точки, удовлетворяющие этим уравнениям (в порядке возрастания): , , , . Каждая из этих точек является точкой перегиба, так как вторая производная  меняет знак при переходе через каждый свой нуль. Эти точки разбивают отрезок  на пять подмножеств; мы уже определяли знак второй производной в точке , принадлежащей четвёртому подмножеству, и в точке , принадлежащей пятому подмножеству, по этой информации без труда определяются направления выпуклости графика функции на каждом из пяти интервалов. Окончательный график функции на отрезке :

.

;  общего вида; непериодична; непрерывна;  при  и ;  отрицательна на интервале  и положительна вне этого интервала; , следовательно, график функции имеет горизонтальную асимптоту .

  при ; , .

 

 +

 0

 -

 0

 +

 Мax

 Min

; .

III.

 при , , , каждая из этих точек – абсцисса точки перегиба.

Определения максимума и минимума. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений. Условные экстремумы. Квадрируемые фигуры и их площади. Понятие двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием.
Примеры вычисления производной