Математика - множества, функции, пределы, производная

Распределение знаков второй производной очевидно: + - + -. Окончательный график функции:

6. .

I. ; общего вида; непериодична;  при ; пределы на границах области определения:, , ,

;  - точка разрыва второго рода; прямая  - вертикальная асимптота. Ищем наклонные асимптоты: ,

прямая - наклонная асимптота при .

.

В таблицу для определения знаков производной включаем внутреннюю границу области определения:

 

 +

 0

 -

 

 +

 0

 + 

Мax =

= -13.5

Не определ.

Нет экстр.

III. Единственная точка перегиба – точка с абсциссой , при  выпуклость графика направлена вверх, при - вниз. График функции:

  ().

; общего вида; непериодична;  на ;пределы на границах области определения: , , , ; прямая  - вертикальная асимптота. Ищем наклонные асимптоты: . Необходимо рассмотреть случаи  и  порознь. При  ,

Прямая  - наклонная асимптота при .

При  ,

Прямая  - наклонная асимптота при .

II.

Критическая точка первого рода - . Производная обращается в нуль ещё в точке , но это - краевая точка области определения, в таблицу для исследования знаков производных она войдёт именно как краевая точка.

 

 

 -

 0

 -

 0

 +

 0

Min=

III.

Вторая производная всегда положительна, график функции (справа) имеет выпуклость, направленную вниз.

8. .

I.   общего вида; непериодична; непрерывна и неотрицательна на ; пределы на границах области определения: , , - вертикальная асимптота. Наклонные и горизонтальные асимптоты не ищем, так как область определения ограничена. Заметим, что .

II.   на всей области определения, так что функция монотонно убывает.

III.   обращается в нуль (первая скобка всегда положительна, так как ) только при , это единственная точка перегиба. График:

Определения максимума и минимума. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений. Условные экстремумы. Квадрируемые фигуры и их площади. Понятие двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием.
Примеры вычисления производной