Математика - множества, функции, пределы, производная

9.2. Многочлены -ой степени.

 9.2.1. Многочлены с комплексными коэффициентами от комплексной переменной. Многочленом -ой степени называется функция  где  - постоянные комплексные числа (коэффициенты многочлена), ,  - комплексная переменная. Число , в котором многочлен принимает нулевое значение (), называется корнем многочлена.

 Справедлива следующая теорема, которая называется основной теоремой алгебры: любой многочлен степени  имеет комплексный корень.

Пусть  - произвольная точка комплексной плоскости. Представим  в виде многочлена по степеням  (как мы делали это в разделе 7.7.1. Формула Тейлора для многочленов): Вычислить неопределенные интегралы.

. Здесь  - новые значения коэффициентов, получающиеся после раскрытия степеней и приведения подобных членов. Очевидно, , отсюда следует утверждение: для того, чтобы число  было корнем многочлена , необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при нулевой степени в разложении  по степеням  был равен нулю: . Но тогда

.

  Таким образом, доказана теорема Безу: для того, чтобы многочлен -ой степени  имел комплексный корень , необходимо и достаточно, чтобы он без остатка делился на , т.е. чтобы  представлялся в виде , где  - многочлен -1-ой степени.

 Пусть  - корень многочлена , тогда, по теореме Безу, . Возможны два варианта: 1. Число  не является корнем многочлена , в этом случае  называется простым корнем многочлена . 2. Число  является корнем многочлена , тогда, применяя теорему Безу уже к , получим , . Применяя к  те же рассуждения, придём к выводу: если  - корень многочлена , то  единственным образом представляется в виде , где . Число  в этом случае называется кратностью корня .

 Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен  при  имеет хотя бы один корень ; если кратность этого корня равна , то, согласно изложенному,   представляется в виде , где . Если , то многочлен  имеет корень , и представляется в виде . Если , эти выкладки можно продолжить; окончательный вывод формулируется так: любой многочлен  степени  

при старшем коэффициенте  единственным (с точностью до порядков сомножителей) образом может быть представлен в виде , где  - (попарно различные) корни многочлена,  - их кратности,- количество различных корней. Общее число корней многочлена с учётом их кратностей равна : .

 9.2.2. Многочлены с действительными коэффициентами. В этом разделе мы рассмотрим многочлен  от комплексной переменной , в предположении, что его коэффициенты - действительные числа. Сформулируем и докажем ряд свойств такого многочлена.

1.Если   - число, сопряжённое к числу , то . Док-во: Для любого действительного числа  операция сопряжения не меняет это число: , поэтому 

(см. сформулированные в разделе 9. Комплексные числа свойства операции сопряжения). 

 2. Если - корень многочлена , то  - тоже корень этого многочлена. Док-во: если , то .

 3. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами , то  без остатка делится на квадратный трёхчлен , где . Док-во: так как числа  - корни , то  представляется в виде  .

 4. Если - корень многочлена  кратности , то  - корень этого многочлена той же кратности. Док-во: непосредственно следует из утверждений 2,3.

 5. Любой многочлен -ой степени  может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где

 - попарно различные действительные корни этого многочлена,  - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней  кратностей )  с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), . Это утверждение непосредственно следует из результатов этого и предыдущего разделов.

 6. При выводе предыдущего утверждения мы существенно использовали тот факт, что  - комплексная переменная (в частности, когда ссылались на основную теорему алгебры). В то же время в самом полученном представлении многочлена все участвующие величины (кроме ) - действительные числа. Предположим теперь, чтобы переменная  принимает только действительные значения, т.е. . Тогда утверждение 5 можно переформулировать так: любой многочлен с действительными коэффициентами  от действительной переменной  может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где смысл всех параметров описан выше.

Определения максимума и минимума. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений. Условные экстремумы. Квадрируемые фигуры и их площади. Понятие двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием.
Примеры вычисления производной