Математика - множества, функции, пределы, производная

Теорема существования определённого интеграла. Если функция   непрерывна на отрезке , то она интегрируема по этому отрезку.

 Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого  найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек , . Требование непрерывности  достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на  при условии их ограниченности. Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если  неограничена на , то она неограничена на каком-либо , т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

 11.1.4. Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если  на отрезке , то  равен площади криволинейной трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией . Пример . Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Математика лекции и задачи

11.2. Свойства определённого интеграла.

 1. Линейность. Если функции ,  интегрируемы по отрезку , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация , и

.

Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек  . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.

  2. Аддитивность. Если  интегрируема по отрезку  и точка  принадлежит этому отрезку, то .

Док-во. Если  удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку , то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам  и . Будем брать такие разбиения отрезка , чтобы точка  являлась одним из узлов : . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для .Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .

Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, , и  интегрируема по . Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .

 При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что .

 3. Интеграл от единичной функции (). Если , то .

Док-во. Если , то для любого разбиения

, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение.

 4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке   выполняется неравенство , и функции  ,  интегрируемы по отрезку , то .

Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек  при  . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство.

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Кубируемые тела и их объемы. Понятие тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Вычисление объемов тел. Вычисление площадей гладких поверхностей.
Примеры вычисления производной