Математика - множества, функции, пределы, производная

Теоремы об оценке интеграла.

5.1. Если на отрезке  функция удовлетворяет неравенству , то .

 Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство.

5.2. Если функция  интегрируема по отрезку , то .

Док-во. . Двойной интеграл Математика лекции и задачи

 6. Теорема о среднем. Если  непрерывна на отрезке , то существует точка , такая что .

Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее  и наибольшее  значения. Тогда . Число  заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между  и . Таким образом, существует точка , такая что .

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если   непрерывна на отрезке , то существует точка  такая, что площадь криволинейной трапеции  равна площади прямоугольника с основанием  и высотой (на рисунке выделен цветом).

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Кубируемые тела и их объемы. Понятие тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Вычисление объемов тел. Вычисление площадей гладких поверхностей.
Примеры вычисления производной