Теоремы об оценке интеграла.
5.1. Если на отрезке 
функция удовлетворяет неравенству 
, то 
.
Док-во. Докажем левое неравенство
(цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных
свойств): 
. Аналогично доказывается
и правое неравенство.
5.2. Если функция 
интегрируема по отрезку , то 
.
Док-во. 
. Двойной интеграл Математика лекции и задачи
6. Теорема о среднем. Если непрерывна на отрезке , то существует точка 
, такая что 
.
Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке
своё наименьшее 
и наибольшее
значения. Тогда 
.
Число 
заключено между минимальным и максимальным
значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке,
заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между
и . Таким образом, существует точка
, такая что 
.
Это свойство имеет простую
геометрическую интерпретацию: если 
непрерывна на отрезке , то существует
точка такая, что площадь криволинейной
трапеции 
равна площади прямоугольника
с основанием и высотой 
(на рисунке выделен цветом).