Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Кубируемые тела и их объемы. Понятие тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Вычисление объемов тел. Вычисление площадей гладких поверхностей.Теоремы об оценке интеграла.
5.1. Если на отрезке
функция удовлетворяет неравенству
, то
.
Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств):
. Аналогично доказывается и правое неравенство.
5.2. Если функция
интегрируема по отрезку
, то
.
Док-во.
. Двойной интеграл Математика лекции и задачи
6. Теорема о среднем. Если
непрерывна на отрезке
, то существует точка
, такая что
.
Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее
и наибольшее
значения. Тогда
. Число
заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между
и
. Таким образом, существует точка
, такая что
.
Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если
непрерывна на отрезке
, то существует точка
такая, что площадь криволинейной трапеции
равна площади прямоугольника с основанием
и высотой
(на рисунке выделен цветом).