Математические теоремы, их виды и логическая структура.
2.3.1. Теоремы прямая, обратная, противоположная.
Простейшая форма математической теоремы такова: "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство В(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р1, Р2, Р3, …}- множество точек плоскости. Тогда формулировка теоремы Пифагора будет такова:
{" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) ÐР1Р2Р3=p/2 Þ | Р1Р2| 2+| Р2Р3| 2=| Р1Р3| 2}. Знакопеременные числовые ряды. Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.
Исходя из утверждения "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) можно построить новые утверждения:
"хÎХ (В(х)ÞА(х)) (обратная теорема);
"хÎХ (ùА(х)Þ ùВ(х)) (противоположная теорема);
"хÎХ (ùВ(х)Þ ùА(х)) (теорема, противоположная обратной).
Сформулируем эти утверждения для теоремы Пифагора:
обратная теорема: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) | Р1Р2|2+| Р2Р3|2=| Р1Р3|2 Þ ÐР1Р2Р3=p/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне - прямой) - верное утверждение;
противоположная теорема: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) ÐР1Р2Р3¹p/2 Þ | Р1Р2|2+| Р2Р3|2¹| Р1Р3|2} (если какой-либо угол треугольника не прямой ,то квадрат противолежащей стороны не может быть равен сумме квадратов остальных сторон - верное утверждение (следствие теоремы косинусов));
теорема, противоположная обратной: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) | Р1Р2|2+| Р2Р3|2¹| Р1Р3|2 Þ ÐР1Р2Р3¹p/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника не равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне, не может быть прямым) - верное утверждение.
Однако
если верна прямая теорема, это не означает, что всегда будут верны все остальные.
Рассмотрим утверждение: "если десятичная запись натурального числа заканчивается
нулем, то это число делится на пять без остатка" 
.
Обратная теорема ("если натуральное число делится на пять без остатка, то
десятичная запись этого числа заканчивается нулем") 
- ложна (число х=15 делится нацело на 5, но
не оканчивается нулём). Противоположное утверждение "если десятичная запись
натурального числа не заканчивается нулем, то это число не делится на пять без
остатка" (
) тоже ложно (опровергающий
пример - х=15). Утверждение, противоположное обратному: "если натуральное
число не делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа не может
заканчиваться нулем" 
- истинно. Докажем общее утверждение
Теор. 2.3.1. Теоремы прямая и противоположная обратной, обратная и противоположная попарно либо обе истинны, либо обе ложны.
Док-во. Составим таблицу истинности для высказываний А, В и требуемых импликаций: [an error occurred while processing this directive]
| А | В | ùА | ùВ | АÞВ | ùВÞùА | ВÞА | ùАÞùВ | Эта таблица является, по существу, подмножеством таблицы Свойства логических операций раздела 2.1. Высказывания и действия над ними. Из неё следуют |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
эквивалентности (АÞВ)Û( ùВÞùА); (ВÞА) Û( ùАÞùВ), которые и требовалось доказать.