Основные правила дифференцирования

Достаточность и необходимость; существование и единственность.

 Переведём формулировку теоремы "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) на термины "необходимо", "достаточно": если для элемента х множества Х истинно утверждение А(х), то истинно и утверждение В(х). Таким образом, свойство В(х) необходимо для выполнения А(х) (если ложно В(х), то не может быть истинно А(х); необходимо целое число делится на 5 без остатка, если его десятичная запись оканчивается нулём). С другой стороны, условие А(х) достаточно для того, чтобы имело место В(х) (равенство последней цифры десятичной записи целого числа нулю достаточно, чтобы это число делилось на 5 без остатка).

 В математике часто встречаются теоремы, для которых утверждения А(х) и В(х) имеют совпадающие области истинности и эквивалентны на этих областях: "хÎХ (А(х)Û В(х) ("для истинности А(х) необходима и достаточна истинность В(х)"; " А(х) истинно тогда и только тогда, когда истиино В(х)"). Как следует из формулы 12. (АÛВ) ÛÞВ)ÙÞА) таблицы "Свойства логических операций", в этом случае одновременно должны быть справедливы и прямая, и обратная теоремы ("треугольник прямоугольный тогда и только тогда, когда квадрат какой-либо стороны равен сумме квадратов остальных сторон"). Закономерен вопрос: зачем вводить два свойства (термина, определения) для описания одной и той же сущности? Ответ заключён в приведённом примере: каждое из свойств может лучше описывать ту или иную сторону этой сущности (одно свойство относится к углам, другое - к сторонам). Числовые  ряды.

 Особый класс математических теорем образуют теоремы существования. Их структура - $хÎХ А(х) (на множестве Х существует элемент х, для которого верно утверждение А(х)). Пример: если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на [a,b] существует (хотя бы один) корень уравнения f(x)=0 (приведённая на иллюстрации функция имеет три корня). В некоторых случаях принципиальна единственность такого элемента х. Так, при численном решении уравнения f(x)=0 многие итерационные процессы перестают работать, если на [a,b] имеется более одного корня уравнения. Существование единственного корня обеспечит такая формулировка теоремы: "если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) монотонна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на [a,b] существует единственный корень уравнения f(x)=0".

Структура теорем существования и единственности: $ÎХ А(х).

2.3.3. Доказательство от противного; метод математической индукции.

 Здесь мы рассмотрит два часто применяющихся метода доказательства теорем: доказательство от противного и метод математической индукции.

 2.3.3.1. Доказательство от противного основано на доказанной нами эквивалентности (АÞВ)Û( ùВÞùА) (эквивалентны теоремы прямая и противоположная обратной). Пример - известное доказательство того факта, что  не может быть рациональным числом (предположим, что =p/q, где p/q - несократимая дробьÞp2=2 q2Þ p - чётно, p=2тÞ 4m2=2 q2Þ

Þq2=2m2Þ q - чётно - противоречие с предположением о несократимости дроби). Таким образом, для доказательства "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) мы предполагаем, что истинно утверждение ùВ, доказываем "хÎХ (ùВ(х)ÞùА(х)), и противоречие между А(х) и ùА(х) приводит к выводу ù ùВ = В.

 2.3.3.2. Метод математической индукции часто применяется, если Х=N (или Х - бесконечное подмножество множества N). Доказательство утверждения "nÎN (А(n)ÞВ(n)) проводится в два этапа: 1. Доказывается утверждение А(1); 2. Доказывается "n³1 А(n)ÞА(n+1). Рассмотрим простой пример: доказать, что для любого натурального числа n сумма квадратов целых чисел от 1 до n равна n(n+1)(2n+1)/6:

.

При n =1 равенство справедливо:  .

Пусть равенство справедливо для n, докажем что оно справедливо для n+1: Формула доказана.

2.3.4. Бином Ньютона.

  Набор элементов , (всего m элементов), выбранных без повторения из множества  {a1, a2, a3, …, an}, содержащего n элементов, где  называется выборкой объема m из n элементов. Пусть, например, даны выборки {a1, a4}, {a2, a3, a4}, {a3, a2, a4}; все приведенные выборки разные: первые две отличаются количеством элементов, последние две выборки отличаются порядком элементов.

 Выборки , в которых учитывается не только набор элементов, но и их порядок, называются размещениями. Число различных возможных размещений из n элементов множества по m (m - объем выборки) обозначается символом . Имеет место формула

¬ 

Доказательство: если все множество содержит n элементов, то имеется ровно n вариантов выбора одного элемента; при любом выборе первого элемента вариантов выбора второго элемента будет n-1; следовательно, вариантов выбора двух элементов будет n(n-1); вариантов выбора третьего элемента из оставшихся n-2 элементов будет тоже n-2; следовательно, три элемента можно выбрать n(n -1)( n -2) способами; таким образом, для любого  числа , получаем

где ; при этом по определению полагается  1!=1, 0!=1.

 Выборки, для которых m = n, называются перестановками. Например, {a1, a2, a3}, {a2, a3, a1}, {a3, a1, a2} и т.д. Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn, так как 

Pn =   = n(n - 1)(n - 2) ... (n – n + 1), то Pn = n!

 Если учитывается только набор элементов в выборке (независимо от их порядка), то такие выборки называются сочетаниями. Пусть, например, имеются выборки {a1, a2, a3}, {a2, a3, a1},

{a3, a6, a2}; первые две из них получаются друг из друга перестановкой элементов, поэтому как сочетания они не различаются (но различаются как перестановки); две последние выборки содержат разные наборы элементов, поэтому как сочетания они разные. Число сочетаний из n элементов по m обозначим . Если набор содержит n элементов, то из этих элементов можно сделать  размещений, при этом каждому размещению соответствует еще Pm - 1 размещение, отличающееся от него только порядком элементов, т.е. тождественные с ним как сочетания. Поэтому , то есть .

Частные случаи: если m = 0, то ; если m = 1, то ; если

m = 2, то  ; …; если m = n - 1, то ; если

m = n, то .

 Биномом Ньютона называют разложение выражения  по степеням a и b (n - натуральное число).

 Количество слагаемых в многочлене  до приведения подобных членов при увеличении показателя степени на единицу увеличивается в два раза (поэтому общее количество слагаемых до приведения подобных членов будет равно 2n + 1). Когда приводятся подобные члены в многочлене , то определяются по сути количества одинаковых слагаемых, то есть числа сочетаний из n элементов по m (ясно, что ).

 До сложения показателей слагаемые в разложении бинома  имеют вид: ; каждое слагаемое содержит n множителей. Количество слагаемых, которые содержат множитель  m раз совпадает с количеством сочетаний по  m из n элементов; такие слагаемые будут иметь вид ; общее число таких слагаемых равно , что приводит к так называемой формуле бинома Ньютона:

¯

  Для наглядного представления значений биномиальных коэффициентов применяют таблицу, называемую треугольником Паскаля:

  Каждый внутренний элемент этой таблицы получается как сумма элементов, стоящих левее и правее строкой выше.

Рассмотрим некоторые свойства биномиальных коэффициентов, которые хорошо просматриваются в треугольнике Паскаля:

  а). Свойство, используемое при построении треугольника Паскаля:

 .

 б). Число элементов в строке (в разложении бинома степени n) на единицу больше показателя степени бинома.

 в). Сумма биномиальных коэффициентов в любой строке равна 2n, то есть

 .

 г). , так как  .

Это свойство означает, что таблица Паскаля симметрична относительно своей центральной линии, или, другими словами, равноотстоящие от краев элементы строки одинаковы: нулевой элемент равен последнему ; первый элемент равен предпоследнему   и т.д.

 д). Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетныx местах.

 е).Каждый элемент строки равен предшествующему, умноженному на коэффициент, равный , то есть . В самом деле,  .

Действительная функция 2-х действительных переменных. График функции двух переменных. Линии уровня. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Дифференцируемость, частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.
Предел функции одной переменной