Определение производной функции Если для некоторого значения x0 существуют пределы
, или
, или
, то говорят, что при x=x0 существует бесконечная производная или, соответственно, бесконечная производная определённого знака, равная +¥ или –¥.
Вычисление производной от функции называется дифференцированием. Примеры. Вычислить производную функции. Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции Выясним теперь связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной функции в той же точке. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке
Геометрический смысл производной и дифференциала Понятия производной и дифференциала функции в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, определим, прежде всего, касательную. Предельное положение секущей M0M при Dx®0, или, что то же, при M®M0, называется касательной к графику функции f в точке M0.
Физический смысл производной и дифференциала
Правила вычисления производных Пример. Вычислить производную функций
.
Производная обратной функции Пользуясь формулой, вычислить производную функций
.
Производная и дифференциал сложной функции Условие существования производной сложной функции Инвариантность формы первого дифференциала функции Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной)
Гиперболические функции и их производные Функции
называются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.
Определение производных высших порядков Производные высших порядков суммы и произведения функций
Аналитическая геометрия Написать разложение вектора по векторам
Производные высших порядков от сложных функций
Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически
Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций. Дифференциалы высших порядков
Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
Теорема Ферма В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства функций. Прежде всего, укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение
Теорема Ролля теорема Лагранжа Геометрический смысл теоремы Лагранжа Отметим два следствия из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего. Следствие 1. Если функция f непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном) и во всех его внутренних точках имеет производную, равную нулю, то функция постоянна на этом промежутке.
О правилах Лопиталя Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел
. Неопределённости вида
Вывод формулы Тейлора Формула называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано. Следствие. Пусть функция
определена на интервале
, и пусть в точке x0 она имеет производные до порядка n+1 включительно.
Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки
Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена Часто бывает удобно для разложения функций f и g по формуле Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных функций. Для этого следует в случае x0¹0 предварительно выполнить замену переменного t=x–x0; тогда x®x0 будет соответствовать t®0. Случай x®¥ заменой переменного x=1/t сводится к случаю t®0.
Исследование поведения функции Признак монотонности функции Для того чтобы непрерывная на некотором промежутке функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках, возрастала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы производная функции была во всех внутренних точках промежутка неотрицательна (неположительна).
Отыскание наибольших и наименьших значений функции Выпуклость и точки перегиба Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх, соответственно вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз, этой функции. Теорема (необходимое условие, выполняющееся в точке перегиба). Если в точке перегиба функции существует вторая производная, то она равна нулю.
Общая схема построения графиков функции Асимптоты Построение графиков функций Изучение заданной функции и построение её графика целесообразно проводить в следующем порядке
