Определение производной
функции Если для некоторого значения x0 существуют пределы
, или
, или
, то говорят, что при x=x0 существует бесконечная
производная или, соответственно, бесконечная производная определённого знака,
равная +¥ или –¥.
Вычисление производной от функции
называется дифференцированием. Примеры.
Вычислить производную функции. Связь между дифференцируемостью
и существованием производной функции Выясним теперь связь между дифференцируемостью
функции в точке и существованием производной функции в той же точке. Связь между
дифференцируемостью и непрерывностью
функции в точке
Геометрический
смысл производной и дифференциала Понятия производной и дифференциала функции
в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке.
Чтобы выяснить эту связь, определим, прежде всего, касательную. Предельное
положение секущей M0M при Dx®0, или, что то же, при
M®M0, называется касательной к графику
функции f в точке M0.
Физический
смысл производной и дифференциала
Правила
вычисления производных Пример.
Вычислить производную функций
.
Производная обратной
функции Пользуясь формулой, вычислить производную функций
.
Производная
и дифференциал сложной функции Условие
существования производной сложной функции Инвариантность
формы первого дифференциала функции Следствие (инвариантность формы первого
дифференциала относительно преобразования независимой переменной)
Гиперболические
функции и их производные Функции
называются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.
Определение
производных высших порядков Производные высших порядков суммы
и произведения функций
Аналитическая геометрия Написать разложение вектора по векторам
Производные
высших порядков от сложных функций
Производные
высших порядков от обратных функций
и от функций, заданных параметрически
Выведем формулы
для дифференцирования параметрически заданных функций. Дифференциалы
высших порядков
Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
Теорема
Ферма В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства
функций. Прежде всего, укажем характеристическое свойство точек, в которых функция
принимает наибольшее или наименьшее значение
Теорема
Ролля теорема Лагранжа Геометрический
смысл теоремы Лагранжа Отметим два следствия
из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего. Следствие 1. Если функция f
непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном) и во всех его внутренних
точках имеет производную, равную нулю, то функция постоянна на этом промежутке.
Теорема
Коши
О правилах Лопиталя
Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов
и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное
исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых
пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил существует
конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥,
предел
. Неопределённости
вида 
Вывод формулы
Тейлора Формула называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным
членом в форме Пеано. Следствие.
Пусть функция
определена на интервале
, и пусть в точке x0 она имеет производные до порядка n+1
включительно.
Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции
в окрестности данной точки
Разложение
основных элементарных функций по формуле
Маклорена Часто бывает удобно для разложения функций f и g по формуле Тейлора
использовать готовый набор разложений
элементарных функций. Для этого следует в случае x0¹0
предварительно выполнить замену переменного t=x–x0; тогда x®x0
будет соответствовать t®0. Случай x®¥
заменой переменного x=1/t сводится к случаю t®0.
Исследование
поведения функции Признак монотонности функции Для того чтобы непрерывная
на некотором промежутке функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках,
возрастала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы производная
функции была во всех внутренних точках промежутка неотрицательна (неположительна).
Отыскание наибольших и наименьших
значений функции Выпуклость и точки
перегиба Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх, соответственно
вниз, называется интервалом (строгой)
выпуклости вверх, соответственно вниз, этой функции. Теорема (необходимое условие,
выполняющееся в точке перегиба). Если в точке перегиба функции существует вторая
производная, то она равна нулю.
Общая схема построения графиков функции
Асимптоты Построение
графиков функций Изучение заданной функции и построение её графика целесообразно
проводить в следующем порядке