Основные свойства интеграла
Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке D.
1. Если функция F дифференцируема на некотором промежутке, то на нём
или, что то же самое,
.
Это сразу следует из определения неопределённого интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.
2. Пусть функция f имеет первообразную на промежутке D, тогда для всех
имеет место равенство
. (35.3)
Отметим, что в этом равенстве под интегралом
понимается произвольная первообразная F функции f. Поэтому равенство (35.3) можно записать в виде
,
справедливость последнего равенства следует из того, что F – первообразная f.
3. Если функции f1 и f2 имеют первообразные на промежутке D, то и функция f1+f2 имеет первообразную на этом промежутке, причём
. (35.4)
Свойство интеграла, выражаемое формулой (35.4), называется аддитивностью интеграла относительно функций.
Доказательство. Пусть F1 и F2 – первообразные соответственно функций f1 и f2, т. е. в каждой точке
выполняются равенства
![]()
. Положим
; тогда функция F является первообразной для функции f1+f2, так как
.
Следовательно, интеграл
состоит из функций
, а сумма интегралов
. Поскольку C, C1 и C2 – произвольные постоянные, оба эти множества, т. е. левая и правая части равенства (4), совпадают. □
4. Если функция f имеет первообразную на промежутке D и k – число, то функция kf также имеет на D первообразную, причём при k¹0 справедливо равенство
. (35.5)
Доказательство. Пусть F – первообразная функции f, т. е.
. Тогда функция kF является первообразной функции kf на промежутке D при любом kΡ, так как
. Поэтому интеграл
состоит из всевозможных функций вида
, а интеграл
– из всевозможных функций
. В силу произвольности постоянной C, при условии
, обе совокупности функций совпадают. Это и означает справедливость равенства (35.5). □
Следствие (линейность интеграла). Если функции f1 и f2 имеют первообразные на промежутке D, а l1 и l2 – числа, то функция l1f1+l2f2 также имеет первообразную на D, причём при
выполняется равенство
.
Это непосредственно следует из свойств (35.3) и (35.4).