История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике

Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Основные свойства интеграла
Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке D.
1. Если функция F дифференцируема на некотором промежутке, то на нём или, что то же самое, .
Это сразу следует из определения неопределённого интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.
2. Пусть функция f имеет первообразную на промежутке D, тогда для всех имеет место равенство
. (35.3)
Отметим, что в этом равенстве под интегралом понимается произвольная первообразная F функции f. Поэтому равенство (35.3) можно записать в виде
,
справедливость последнего равенства следует из того, что F – первообразная f.
3. Если функции f1 и f2 имеют первообразные на промежутке D, то и функция f1+f2 имеет первообразную на этом промежутке, причём
. (35.4)
Свойство интеграла, выражаемое формулой (35.4), называется аддитивностью интеграла относительно функций.
Доказательство. Пусть F1 и F2 – первообразные соответственно функций f1 и f2, т. е. в каждой точке выполняются равенства . Положим ; тогда функция F является первообразной для функции f1+f2, так как
.
Следовательно, интеграл состоит из функций , а сумма интегралов . Поскольку C, C1 и C2 – произвольные постоянные, оба эти множества, т. е. левая и правая части равенства (4), совпадают. □
4. Если функция f имеет первообразную на промежутке D и k – число, то функция kf также имеет на D первообразную, причём при k¹0 справедливо равенство
. (35.5)
Доказательство. Пусть F – первообразная функции f, т. е. . Тогда функция kF является первообразной функции kf на промежутке D при любом kÎ¡, так как . Поэтому интеграл состоит из всевозможных функций вида , а интеграл – из всевозможных функций . В силу произвольности постоянной C, при условии , обе совокупности функций совпадают. Это и означает справедливость равенства (35.5). □
Следствие (линейность интеграла). Если функции f1 и f2 имеют первообразные на промежутке D, а l1 и l2 – числа, то функция l1f1+l2f2 также имеет первообразную на D, причём при выполняется равенство
.
Это непосредственно следует из свойств (35.3) и (35.4).

Математический анализ лекции и задачи

Если задана функция y(x), то это значит, что хоть какому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но часто оказывается, что нахождение этого значения совсем трудоёмко. К примеру, у(х) может быть определено как решение сложной задачки, в которой х играется роль параметра либо у(х) измеряется в дорогостоящем опыте.
Неопределенный интеграл