История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Нахождение неопределенных интегралов

Интегрирование подстановкой

Теорема 1. Пусть функции  и  определены соответственно на промежутках Dx и Dt, причём . Если функция f имеет на Dx первообразную  и, следовательно, , а функция j дифференцируема на Dt, то функция  имеет на Dt первообразную  и

 . (36.1)

Доказательство. Функции f и F определены на промежутке Dx, и так как, по условию теоремы, справедливо включение , то имеют смысл сложные функции  и . При этом так как

 ,

то по правилу дифференцирования сложной функции получим

 .

Это и означает, что функция  имеет в качестве одной из своих первообразных функцию . Отсюда, согласно определению интеграла, следует, что

 . (36.2)

Подставив же в формулу (6) , получим

 . (36.3)

В формулах (36.2) и (36.3) равны правые части, значит, равны и левые, т. е. имеет место равенство (36.1). □

Формула (36.1) называется формулой интегрирования подстановкой.

Пример. Вычислить интегралы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Замечание. Для проверки результата, полученного при вычислении неопределённого интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого интеграла.

Математический анализ лекции и задачи

Если задана функция y(x), то это значит, что хоть какому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но часто оказывается, что нахождение этого значения совсем трудоёмко. К примеру, у(х) может быть определено как решение сложной задачки, в которой х играется роль параметра либо у(х) измеряется в дорогостоящем опыте.
Неопределенный интеграл