История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Нахождение неопределенных интегралов

Интегрирование по частям

Теорема 2. Если функции  и  дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нём существует и интеграл , причём

 . (36.4)

Доказательство. Пусть функции  и  дифференцируемы на промежутке D, тогда по правилу дифференцирования произведения для всех точек этого промежутка имеет место равенство

 ,

поэтому .

Интеграл от каждого слагаемого правой части существует, так как

 ,

а интеграл  существует по условию теоремы. Поэтому существует и интеграл , причём

 . (36.5)

Подставляя в правую часть (10)  вместо  и относя произвольную постоянную C к интегралу  получим формулу (9). □

Пример. Вычислить интегралы:

1. .

2. .

Математический анализ лекции и задачи

Если задана функция y(x), то это значит, что хоть какому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но часто оказывается, что нахождение этого значения совсем трудоёмко. К примеру, у(х) может быть определено как решение сложной задачки, в которой х играется роль параметра либо у(х) измеряется в дорогостоящем опыте.
Неопределенный интеграл