История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Последовательность. Предел последовательности

Пусть X – какое-либо множество и ¥ – множество натуральных чисел. Если каждому элементу множества ¥ поставлен в соответствие единственный вполне определённый элемент множества X, то говорят, что задана последовательность. Соответствующий натуральному числу n элемент множества X обозначается через xn и называется n-м членом последовательности. Сама эта последовательность обозначается через {xn} или xn, n = 1, 2, ...

Множество членов последовательности всегда бесконечно. Два различных элемента последовательности могут иметь одно и то же значение, но заведомо отличаются номерами, которых бесконечное множество.

Одним из важнейших понятий математического анализа является понятие предела. Мы начнём его изучение с предела последовательности действительных чисел.

Постоянное число a называется пределом последовательности xn, если для любого e>0 существует такой номер N(e), что все значения xn, у которых номер n>N, удовлетворяют неравенству

 .  (4.1)

Если выполняется это условие, то пишут  или xn®a при n®¥ и говорят, что члены последовательности {xn} стремятся к a. Сама последовательность в этом случае называется сходящейся.

Примеры. Выписать четыре первых члена следующих последовательностей   и сделать предположение об их возможных пределах.

Математический анализ лекции и задачи

Используя операцию композиции, можно из главных элементарных функций, получать новейшие функции, также называемые элементарными. Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить из главных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.
Неопределенный интеграл