История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Свойство пределов последовательностей

Теорема. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , то их произведение также имеет конечный предел, причём

 .

Доказательство. Поскольку , как и в предыдущем случае, имеем

 ,

где an, bn – бесконечно малые. Поэтому

 .

Выражение в скобках в правой части последнего равенства есть бесконечно малая в силу лемм 1 и 2 о бесконечно малых, т. е. . □

Эта теорема также может быть распространена на случай любого конечного числа сомножителей.

Теорема 6. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , b ¹ 0, то их отношение также имеет конечный предел, причём

 .

Доказательство. Поскольку b ¹ 0, начиная с некоторого места, не только yn ¹ 0, но даже

 ,

где r – постоянное число. Ограничимся теми значениями номера n, для которых это выполняется; тогда отношение  заведомо имеет смысл. Имеем

 .

Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина бесконечно малая. Множитель же при нём, на основании сказанного вначале, будет ограниченной переменной:

 .

Следовательно, по лемме 2, все произведение справа будет бесконечно малым, а оно представляет разность между последовательностью  и числом . □

Математический анализ лекции и задачи

Используя операцию композиции, можно из главных элементарных функций, получать новейшие функции, также называемые элементарными. Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить из главных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.
Неопределенный интеграл