История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Функции

Понятие функции

Понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и её приложениях. В курсе математического анализа будут сначала изучаться только действительные функции одного действительного аргумента, т. е. функции .

Пусть заданы числовые множества X, Y и некоторое правило f, ставящее в соответствие каждому элементу множества X единственный элемент множества Y. В таком случае говорят, что на множестве X задана функция f, множеством значений которой является множество Y.

Над функциями можно производить различные арифметические операции. Если даны две числовые функции f и g, определённые на одном и том же множестве X, а с – некоторое число (или, как часто говорят, константа), то функция cf определяется как функция, принимающая в каждой точке xÎX значение сf(х); функция f+g – как функция, принимающая в каждой точке xÎX значение f(х) + g(х); fg – как функция, в каждой точке принимающая значение f(х)g(х); наконец, f/g – как функция, в каждой точке xÎX равная f(х)/g(х) (при g(х) ¹ 0).

Числовая функция f, определённая на множестве X, называется ограниченной сверху (снизу), если множество её значений ограничено сверху (снизу). Иначе говоря, функция X ограничена сверху (снизу), если существует такая постоянная М, что для каждого xÎX выполняется неравенство f(х)£М (соответственно f(х)³М).

Функция f, ограниченная на множестве X как сверху, так и снизу, называется ограниченной на этом множестве.

Верхняя (нижняя) грань множества значений Y числовой функции у = f(х), определённой на множестве X, называется верхней (нижней) гранью функции f и обозначается

  .

Будем говорить, что числовая функция f, определённая на множестве X, принимает в точке x0ÎX наибольшее значение (наименьшее), если f(х) £ f(х0) (соответственно f(х)³f(х0)) для каждой точки xÎX. В этом случае будем писать  или  (соответственно  или ).

Наибольшее (наименьшее) значение функции называется также ее максимальным (минимальным) значением. Максимальные и минимальные значения называются экстремальными.

Очевидно, что если функция f принимает в точке x0 наибольшее (наименьшее) значение, то   (соответственно ).

Математический анализ лекции и задачи

Функция у(х) может участвовать в каких-или физико-технических либо чисто математических расчётах, где ее приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j(х), которая близка в неком смысле к у(х) и просто рассчитывается
Неопределенный интеграл