История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Способы задания функции

Рассмотрим различные способы задания функций.

Прежде всего, функции могут задаваться с помощью формул: аналитический способ. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход.

Примеры. 1. Функция sign х (от лат. signum знак) может быть записана с помощью нескольких формул:

 

2. Каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному – число нуль. Полученная функция называется функцией Дирихле.

Второй способ задания функции – графический. Наглядность графика делают его незаменимым вспомогательным средством исследования свойств функции.

Функцию можно задать еще третьим способом – с помощью таблиц, т. е. для некоторых значений переменной х указать соответствующие значения переменной у. Данные таблиц могут быть получены как непосредственно из опыта, так и с помощью тех или иных математических расчётов.

Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналитические способы задания функции.

Неявные функции. Пусть дано уравнение вида

 ,  (9.1)

т. е. задана функция F(x, у) двух действительных переменных x и у, и рассматриваются только такие пары x, у (если они существуют), для которых выполняется условие (9.1)).

Пусть существует такое множество X, что для каждого x0ÎX существует, по крайней мере, одно число у, удовлетворяющее уравнению F(x0, у) = 0. Обозначим одно из таких чисел через y0 и поставим его в соответствие числу x0ÎX. В результате получим функцию f, определённую на множестве X и такую, что F(x0, f(x0)) = 0 для всех x0ÎX. В этом случае говорят, что функция f задаётся неявно уравнением (1). Одно и то же уравнение (1) задаёт не одну, а некоторое множество функций.

Функции, неявно задаваемые уравнениями вида (1), называются неявными функциями в отличие от функций, задаваемых формулой, разрешённой относительно переменной у, т. е. формулой вида у = f(х).

Термин «неявная функция» отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ её задания. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно.

Сложные функции. Напомним, что если заданы функции у = f(х) и z = F(y), причём область определения функции F содержит область значений функции f, то каждому х из области определения функции f естественным образом соответствует z такое, что z = F(y), где у = f(x). Эта функция, определяемая соответствием z = F[f(x)], называется, как известно, сложной функцией или композицией (суперпозицией) функции f и F и обозначается через F°f, т. е. .

Сложная функция отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ её задания.

Обратные функции. Пусть задана функция f: X®Y и Yf – множество её значений. Совокупность всевозможных упорядоченных пар вида , образует функцию, которая называется обратной функцией для функции f и обозначается через . Обратная функция  ставит в соответствие каждому элементу  его прообраз , т. е. некоторое множество элементов. Тем самым обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией. Отображения f и  называются взаимно обратными.

Математический анализ лекции и задачи

Функция у(х) может участвовать в каких-или физико-технических либо чисто математических расчётах, где ее приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j(х), которая близка в неком смысле к у(х) и просто рассчитывается
Неопределенный интеграл