История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Предел функции по Гейне

Первое определение предела функции

Перейдём теперь к изучению одного из самых основных понятий математического анализа – понятию предела функции. Под «точками» будем понимать либо конечные точки, либо бесконечно удалённые, т. е. либо действительные числа, либо одну из бесконечностей ¥, +¥ или –¥. Дадим сначала определение предела функции в терминах пределов последовательностей. Это определение часто называют определением предела функции по Гейне.

Точка a называется пределом функции  в точке x0 (или, что то же, при x®x0), если для любой последовательности xnÎX, имеющей своим пределом точку x0, т. е. такой, что

 ,

последовательность  имеет своим пределом точку a, т. е.

 .

В том случае, когда a является пределом функции f в точке x0, пишут  или  при .

Определение предела при заданной функции  содержательно только тогда, когда для точки x0 действительно существуют последовательности точек xnÎX, имеющие своим пределом (конечным или бесконечным) точку x0: .

Пусть XÌ¡. Точка x0, для которой существует последовательность xnÎX, имеющая своим пределом точку x0, называется точкой прикосновения множества X.

Очевидно, что любая точка x0, принадлежащая самому множеству X, является его точкой прикосновения, так как стационарная последовательность x0 = xnÎX удовлетворяет условиям данного определения: . Но, безусловно, у множеств могут существовать и конечные точки прикосновения, не принадлежащие этим множествам. Так, например, точки x=a и x=b являются точками прикосновения интервала (a, b) и не содержатся в нём.

Примеры. 1. Вычислить: .

2. Показать, что не существует предела функции .

3. Вычислить: .

Математический анализ лекции и задачи

Основными задачами и темами изучения математического анализа являются: рассмотрение элементов теории множеств, вещественных чисел, понятий функции и ее графика, изучение пределов последовательности и функции, непрерывности функции
Неопределенный интеграл