История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Предел функции по подмножеству

При рассмотрении пределов функции часто приходится иметь дело с пределами сужений функций на том или ином множестве, т. е. с пределами функций, получающихся из данных функций, рассмотрением их не на всём множестве, на котором они заданы, а на каком-то содержащемся в нём.

Пусть . Предел в точке x0 сужения , функции f на множество E называется пределом функции f по множеству E в этой точке и обозначается через

 .

Понятие предела функции по множеству в точке x0 содержательно только для такого множества Е, для которого точка x0 является его точкой прикосновения (в этом случае она является и точкой прикосновения множества X).

Пример. Вычислить предел функции Дирихле в точке x0=0 по множествам .

Лемма 1. Если , x0 – точка прикосновения множества Е и существует предел  функции f в точке x0 (т. е. предел по множеству X), то в этой точке существует и предел функции f по множеству Е и значения обоих пределов равны:

 .

Доказательство. Если для любой последовательности  все последовательности  имеют один и тот же предел a, то это заведомо верно и для любой последовательности , так как EÌX. □

Отметим один часто встречающийся случай предела функции в точке, когда предел берётся по проколотой окрестности (она определена ниже) этой точки или по пересечению проколотой окрестности с множеством определения рассматриваемой функции.

Проколотой e-окрестностью точки x0 называется множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .

Пример. Вычислить предел функции  по проколотой окрестности точки x0 = 0 и по всей окрестности точки x0 = 0.

Рассмотренный пример показывает, что одна и та же функция может по одному множеству иметь предел в некоторой точке, а по другому – не иметь предела в той же точке.

Математический анализ лекции и задачи

Основными задачами и темами изучения математического анализа являются: рассмотрение элементов теории множеств, вещественных чисел, понятий функции и ее графика, изучение пределов последовательности и функции, непрерывности функции
Неопределенный интеграл