История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Непрерывные функции

Критерий существования предела функции в точке

Прежде чем перейти к определению непрерывных функций, рассмотрим следующую лемму.

Лемма 2. Пусть  и x0ÎX. Тогда, для того чтобы функция f имела предел в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы

 . (11.1)

Доказательство. Достаточность. Достаточность условия (2) для существования предела функции f в точке x0 очевидна: это условие даже сильнее, так как оно утверждает не только существование предела, но и определяет его значение, равное f(x0).

Необходимость. Пусть у функции f в точке x0 существует предел, равный a:

 .

Согласно определению предела это означает, что для любой последовательности , справедливо равенство

 .

В частности, поскольку x0ÎX, это равенство справедливо и для стационарной последовательности, составленной из одной точки x0, т. е. для последовательности xn = x0. В этом случае

  .

С другой стороны, поскольку предел постоянной равен самой этой постоянной, имеем

 .

Сравнивая два последних равенства, получаем f(x0) = a. □

Математический анализ лекции и задачи

Основными задачами и темами изучения математического анализа являются: рассмотрение элементов теории множеств, вещественных чисел, понятий функции и ее графика, изучение пределов последовательности и функции, непрерывности функции
Неопределенный интеграл