История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Непрерывные функции

Дадим теперь определение функции, непрерывной в данной точке. Функция   называется непрерывной в точке x0ÎX, если

 . (11.2)

Условие (11.2) означает, что в случае непрерывности функции f в точке x0 предел в этой точке находится по очень простому правилу: следует вычислить значение самой функции f в точке x0.

Согласно лемме 2, условие (11.2) равносильно тому, что функция   имеет предел в точке x0 и что x0ÎX.

Само собой разумеется, что в том случае, когда для функции  предел  равен одной из бесконечностей ¥, +¥ или –¥ заведомо x0ÏX. В противном случае для стационарной последовательности xn=x0, имело бы место , и так как, по условию, функция f принимает только числовые значения, то вопреки предположению предел  был бы конечным. Из сказанного следует, в частности, что если у функции в некоторой точке существует бесконечный предел, то в ней функция заведомо не является непрерывной.

Для проведения анализа понятия непрерывности функции в точке дадим определения изолированных и предельных точек множеств.

Точка x0ÎX называется изолированной точкой множества XÌ¡, если существует окрестность этой точки, пересечение которой с множеством X состоит только из одной точки x0.

Математический анализ лекции и задачи

Основными задачами и темами изучения математического анализа являются: рассмотрение элементов теории множеств, вещественных чисел, понятий функции и ее графика, изучение пределов последовательности и функции, непрерывности функции
Неопределенный интеграл