История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Непрерывные функции

Пример. Все точки множества натуральных чисел ¥ изолированы, а множество ¤ всех рациональных чисел не имеет изолированных точек.

Точка  называется предельной точкой множества XÌ¡, если в любой её окрестности существует отличная от неё точка, принадлежащая множеству X.

Иначе говоря, точка x0 называется предельной точкой множества X, если всякая её проколотая окрестность имеет с этим множеством непустое пересечение.

Замечание. Предельная точка множества может как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать. Например, каждая точка отрезка  является предельной точкой интервала . При этом точки a и b не принадлежат указанному интервалу, а все остальные содержатся в нём.

Очевидно, что всякая точка прикосновения x0 множества является либо изолированной точкой этого множества, либо его предельной точкой.

Справедливо следующее предложение.

Лемма. Всякая функция непрерывна в каждой изолированной точке множества своего определения.

Доказательство. Пусть x0 – изолированная точка множества определения X функции f. Тогда, согласно определению, существует окрестность точки x0, пересечение которой с множеством X состоит из единственной точки x0. Какова бы ни была последовательность , для указанной окрестности, в силу определения предела последовательности, существует такой номер N, что для всех номеров n>N элементы последовательности xn принадлежат этой окрестности точки x0. Но поскольку других элементов множества X в рассматриваемой окрестности нет, имеем xn=x0. Это означает, что, начиная с номера N+1, последовательность  становится стационарной:  при n>N. Поэтому существует предел , что, в силу произвольного выбора последовательности , означает выполнение условия (3), т. е. непрерывность функции f в точке x0. □

Математический анализ лекции и задачи

Основными задачами и темами изучения математического анализа являются: рассмотрение элементов теории множеств, вещественных чисел, понятий функции и ее графика, изучение пределов последовательности и функции, непрерывности функции
Неопределенный интеграл