История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Эквивалентность двух определений предела функции

Перейдём теперь к сравнению определений предела функции по Гейне и по Коши.

Теорема 1. Первое и второе определения предела функции в точке прикосновения множества определения функции эквивалентны.

Доказательство. Докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел по Гейне, то она имеет тот же самый предел в этой точке и по Коши. Пусть , x0 – точка прикосновения множества X и  в смысле первого определения предела функции.

Ограничимся здесь случаем конечных x0 и a. Допустим, что предел по Коши не совпадает с пределом по Гейне, т. е.

  . (12.1)

Возьмём . Выберем в каждой такой d-окрестности точки x0 элемент xn. Тогда, по построению, имеем последовательность . При этом, в силу (4), все элементы последовательности  лежат вне
e-окрестности точки a.

С другой стороны, поскольку  в смысле первого определения, то для любой последовательности  имеет место равенство . Согласно определению предела последовательности это означает, что для любой окрестности точки a, в частности и для выбранной выше e-окрестности, существует такой номер N, что для всех номеров n>N имеет место .

Полученное противоречие доказывает сделанное утверждение. □

Теперь докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел в смысле второго определения, то она имеет в этой точке тот же самый предел и в смысле первого определения. Пусть  в смысле предела функции по Коши, , x0 – предельная точка множества X, и пусть . Покажем, что тогда , т. е. точка a является пределом функции f и в смысле определения предела функции по Гейне.

Зададим произвольную e-окрестность точки a. Тогда, по условию теоремы,

 . (12.2)

Для этой d-окрестности найдётся такой номер N, что для всех номеров n>N будет выполняться условие . Но тогда, в силу (5), имеем . Это и означает, что .

Если же x0 – изолированная точка множества X, то функция f непрерывна в этой точке (почему?) и имеет место равенство . □

Математический анализ лекции и задачи

Основными задачами и темами изучения математического анализа являются: рассмотрение элементов теории множеств, вещественных чисел, понятий функции и ее графика, изучение пределов последовательности и функции, непрерывности функции
Неопределенный интеграл