История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Свойства пределов функции

Пусть XÌ¡, x0 – точка прикосновения множества X. Справедливы следующие свойства пределов функций.

Свойство 1. Если предел функции  в точке x0 существует, то он единственен.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. у функции   в точке x0 существуют два различных предела a1 и a2. Это означает, что для любой последовательности  имеют место равенства  и .

Выберем e-окрестности точек a1 и a2 так, чтобы они не пересекались. Тогда для последовательности xn найдутся такие номера N1 и N2, начиная с которых все элементы последовательности  принадлежат e-окрестностям точек a1 и a2 соответственно. Выбирая N=max(N1, N2), получаем, что при n>N все элементы последовательности  принадлежат одновременно e-окрестностям обеих точек, что невозможно. □

Свойство 2. Если функция  имеет в точке x0 конечный предел, то существует такая проколотая окрестность точки x0, что функция f ограничена на пересечении этой окрестности с множеством определения X функции f.

Доказательство. Пусть  – конечный предел. Тогда, согласно определению предела функции по Коши, для любого e>0 существует такое d = d(e)>0, что для всех x, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство . В частности, можно подобрать d так, чтобы выполнялось неравенство . Отсюда и следует ограниченность функции f на указанном множестве. □

Математический анализ лекции и задачи

Основными задачами и темами изучения математического анализа являются: рассмотрение элементов теории множеств, вещественных чисел, понятий функции и ее графика, изучение пределов последовательности и функции, непрерывности функции
Неопределенный интеграл