История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал как будут уходить на пенсию 2018

Свойства пределов функции

Свойство. Если функции  и  таковы, что , то найдётся проколотая окрестность точки x0, на пересечении которой с множеством X выполнено неравенство f(x) < g(x).

Доказательство. Возьмём число c такое, что a < c < b. По определению предела найдутся проколотые окрестности точки x0, на пересечении которых с множеством X имеют место неравенства . Выбирая наименьшую из этих окрестностей, имеем:

  . □

Свойство 4. Пусть . Тогда, если f(x) > g(x), то
a ³ b; если f(x) ³ g(x), то a ³ b.

Свойство 4 выводится из свойства 3 методом от противного.

Свойство 5. Если , и существуют конечные или определённого знака бесконечные пределы , то .

Свойство 6. Если существуют пределы функций , то справедливы формулы:

 ,

 ,

 .

Последняя из формул справедлива в предположении, что b ¹ 0.

Свойства 5–6 могут быть доказаны одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последовательностей.

Пример. Доказать, что  (первый замечательный предел).

Математический анализ лекции и задачи

введение понятия производной и дифференциала функции, изучение их свойств и проведение полного исследования функций с помощью производных, рассмотрение обратной операции --- интегрирования;
Неопределенный интеграл