История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Точки разрыва функции и их классификация

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки. Точка x0 называется точкой разрыва функции f, если функция f не определена в точке x0 или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Если x0 – точка разрыва функции f и существуют конечные односторонние пределы   и , то точка x0 называется точкой разрыва первого рода.

Величина  называется скачком функции f в точке x0. Если скачок функции f в точке разрыва x0 равен нулю, т. е. , то x0 называется точкой устранимого разрыва.

Последний термин оправдан тем, что если в этом случае переопределить или доопределить (если функция f была не определена в точке x0) функцию f, положив

 ,

то получим непрерывную в точке x0 функцию.

Точка разрыва функции, не являющаяся её точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Очевидно, что в точках разрыва второго рода по крайней мере один из пределов  или  не существует. Здесь под пределом, как обычно, понимается лишь конечный предел.

Примеры. Указать вид точки разрыва x0=0 для функций .

Математический анализ лекции и задачи

введение понятия производной и дифференциала функции, изучение их свойств и проведение полного исследования функций с помощью производных, рассмотрение обратной операции --- интегрирования;
Неопределенный интеграл