История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Критерий существования предела функции

Существование предела монотонной функции

Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.

Функция   называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если для любых таких точек x1ÎX и x2ÎX, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2) (соответственно неравенство f(x1) > f(x2)).

Если же для любых точек x1ÎX и x2ÎX, x1 < x2, выполняется неравенство f(x1)£f(x2) (соответственно неравенство f(x1) ³ f(x2)), то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) – но в широком смысле.

Возрастающие и убывающие на множестве X функции называются монотонными на этом множестве.

Теорема 4. Пусть функция  – неубывающая на (a, b), где, в частности, может быть . Если она ограничена сверху числом M, то существует конечный предел . Если же она не ограничена сверху, то .

Аналогично, если функция f ограничена снизу, то в точке a у неё существует конечный предел справа, а если f не ограничена снизу, то .

Подобные утверждения справедливы и для убывающих функций; их можно получить, перейдя от функции f к функции –f.

Доказательство. Из ограниченности f следует существование конечной точной верхней грани . Таким образом, , и для всякого e > 0 существует  такое, что . Но в силу того, что f не убывает, . Таким образом, для любого e>0 можно указать  такое, что  для всех x, удовлетворяющих неравенствам . Это и значит, что .

Пусть теперь неубывающая функция f не ограничена сверху. Тогда для любого M существует  такое, что M < f(x1), и вследствие того, что f не убывает на X,

 ,

а это и говорит о том, что . □

Математический анализ лекции и задачи

введение понятия производной и дифференциала функции, изучение их свойств и проведение полного исследования функций с помощью производных, рассмотрение обратной операции --- интегрирования;
Неопределенный интеграл