История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Свойства функций, непрерывность на отрезке

Ограниченность непрерывных на отрезке функций

Функция , называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке множества X.

Важным классом непрерывных функций является класс функций, непрерывных на промежутках числовой оси. Начнём его изучение с функций, непрерывных на отрезках. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то её непрерывность в точке x=a означает непрерывность справа, а её непрерывность в точке x=b – непрерывность слева.

Наибольшим  (наименьшим ) значением функции  называется наибольшее (наименьшее) значение множества всех её значений. Очевидно, что если у функции f существует наибольшее (наименьшее) значение, то оно является её верхней (нижней) гранью  (соответственно ).

Теорема 7 (теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке функция ограничена и принимает на нём наибольшее и наименьшее значение.

Доказательство. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и пусть ; как и всякая верхняя грань непустого множества чисел, M может быть либо конечной, либо бесконечной, равной +¥. Покажем, что M<+¥ и что существует такая точка , что .

Выберем какую-либо последовательность таких чисел an, что

 . (19.1)

Согласно определению верхней грани функции для каждого an существует такая точка , что

 . (19.2)

С другой стороны, поскольку M – верхняя грань функции f, для всех точек   справедливо неравенство

 .  (19.3)

Последовательность  ограничена:  для всех n, поэтому по теореме Больцано–Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность

 .  (19.4)

Так как  для всех k, то и , т. е. x0 – точка отрезка [a, b].

Из неравенств (19.2) и (19.3) следует, что для всех k справедливы неравенства

 . (19.5)

Математический анализ лекции и задачи

Понятие функции является одним из главных в математике. С его помощью выражают зависимости меж различными переменными величинами. исследование параметров функций, основанное на способе пределов, составляет содержание математического анализа.
Неопределенный интеграл