История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Свойства функций, непрерывность на отрезке

Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей последовательности; поэтому из (19.1) имеем . Переходя в (19.5) к пределу при k®¥,
получаем

 . (19.6)

С другой стороны, в силу непрерывности функции f на отрезке [a, b], она непрерывна в точке x0 этого отрезка и, таким образом, из (19.4) следует, что

 . (19.7)

Из формул (19) и (20) имеем .

Таким образом, доказано, что верхняя грань M функции f совпадает со значением функции в точке x0 и, следовательно, конечна. Тем самым функция f
ограничена сверху, и её верхняя грань достигается в точке .

Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция ограничена снизу и достигает на нём своей нижней грани. □

Пример. Показать, что на интервале непрерывная функция может быть неограниченной и не достигать верхней (нижней) грани.

Математический анализ лекции и задачи

Понятие функции является одним из главных в математике. С его помощью выражают зависимости меж различными переменными величинами. исследование параметров функций, основанное на способе пределов, составляет содержание математического анализа.
Неопределенный интеграл